Estar simplesmente conectado é muito raro?
Essencialmente, minha pergunta é quão forte é a restrição de ser simplesmente conectado.
Aqui está uma maneira de tornar isso preciso: Digamos que queremos contar complexos simpliciais (de dimensão 2, embora isso não importe muito, qualquer dimensão fixa é adequada) em N simplicos que estão sujeitos às seguintes restrições:
R: cada vértice está contido apenas em um número limitado de simplicidades (digamos, 10000).
B: o complexo está simplesmente conectado.
Então, apropriadamente: quantos complexos distintos como este existem? Na verdade, eu só quero uma resposta aproximada: é exponencial em N ou é superexponencial. Observe que, se eu remover uma das restrições, a resposta será superexponencial.
Respostas
Aqui está uma estimativa aproximada indicando que, de fato, neste modelo de "valência limitada", um complexo simplicial tem um grupo fundamental que não se desvanece com alta probabilidade. Na verdade, vamos concluir algo mais forte: o número de 2-simplicos é limitado com alta probabilidade. Acho que isso aponta para uma deficiência do modelo de "valência limitada" - intuitivamente, eu esperaria uma "boa" medida em complexos simpliciais com$N$ vértices para me dizer que o número esperado de 2-simplicos cresce com $N$.
Deixei $N$ seja o número de vértices, e deixe $d$ser o limite do número de simplicos que contêm um determinado vértice. Vamos pensar em um complexo de 2$X$ neste modelo da seguinte forma:
O 1-esqueleto $X_1$ do $X$ é um gráfico com valência limitada por $d$, e assim tem $\leq Nd/2$arestas. Seu grupo fundamental é um grupo livre em$\leq N(d/2-1)-1$geradores. Vamos supor que$X_1$ está conectado ou pelo menos é dominado por um componente gigante, e estamos interessados no grupo fundamental do componente gigante.
Agora, cada 2-simplex que adicionamos pode apenas reduzir o grupo fundamental, então podemos também adicionar todos os 2-simplex possíveis e ver que o resultado ainda não está simplesmente conectado. A probabilidade de que um determinado par de vértices esteja conectado por uma aresta é$\sim (Nd/2) / {N \choose 2} \sim d/N$. Então, dado um vértice e duas arestas conectadas a ele, a probabilidade de que eles se encaixem em um triângulo é$\sim d/N$. Portanto, cada vértice está contido em$\sim {d \choose 2}(d/N) \sim d^3/(2N)$ triângulos, e portanto há um total de $\sim \frac 1 3 N(d^3/(2N)) = d^3/6$ triângulos.
Ou seja, o grupo fundamental de $X_1$, que é gratuito em vários geradores $\sim N(d/2-1)$ crescendo com $N$, é quociente por um número limitado de relações$\sim d^3/6$com alta probabilidade. Olhando para as abelianizações, podemos ver que isso implica que$H_1(X) \neq 0$ e em particular aquele $\pi_1(X) \neq 0$.
Claro, se você pegar $d \sim 10000$, então o limite do número de relações é de cerca de um trilhão, então você precisa olhar para complexos bem grandes antes de ver esse comportamento emergir :).
Acho que o principal "passo não rigoroso" deste argumento reside em assumir que a probabilidade de dois vértices $v,w$estar conectado por uma borda não sobe quando condicionamos no evento que$v,w$ cada um está conectado a um terceiro vértice $u$. Isso parece muito plausível para mim (se alguma coisa, a probabilidade deve diminuir um pouco porque um dos possíveis$d$- muitos vértices para $v$ estar conectado é assumido por $u$ e da mesma forma para $w$), mas não tenho certeza de como justificá-lo.
O seguinte não responde à sua pergunta, mas adicionando apenas no caso de ser útil.
Se você enfraquecer "simplesmente conectado" a $H_1(\Delta, \mathbb{Q}) = 0$, e enfraquecer "cada vértice está em um número limitado de arestas" para "o número médio de triângulos contendo uma aresta é limitado", então há superexponencialmente muitos desses complexos. Este é um resultado antigo de Kalai, em enumerar$\mathbb{Q}$-complexos acíclicos. https://link.springer.com/article/10.1007/BF02804017 tem $\exp( cn^2)$ tais complexos, onde $c>0$ é alguma constante que não depende de $n$. Para saber mais sobre enumeração$\mathbb{Q}$-complexos, consulte Linial e Peled: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/rsa.20841
Andrew Newman e eu recentemente mostramos que um típico $\mathbb{Q}$O complexo acíclico (de acordo com uma `medida determinante 'natural) não é simplesmente conectado. Com alta probabilidade, o grupo fundamental é um grupo hiperbólico de dimensão cohomológica 2.https://arxiv.org/abs/2004.13572