Exatidão de sequência e localização

Question

Suponha $A$ é um gerado finitamente $\mathbb{Z}$-álgebra e $R$ é um gerado finitamente $A$-álgebra. Temos uma sequência de geradas finitamente$R$-módulos \begin{align*} \mathbb{F}:M_1\rightarrow M_2\rightarrow M_3 \end{align*} de modo que a composição dos mapas na sequência seja zero (não exata) e sabemos que $\mathbb{F}\otimes \mathrm{Frac}(A)$, Onde $\mathrm{Frac}(A)$ é o campo de fração de $A$, é exato em $M_2\otimes\mathrm{Frac}(A)$. Então segue que$\mathbb{F}\otimes A_a$ é exato em $M_2\otimes A_a$ para algum diferente de zero $a\in A$?

Answer 1

$\newcommand{\im}{\mathrm{im}}$

Com as condições adicionadas, isso se torna verdadeiro (estou assumindo a notação $\mathrm{Frac}(A)$ assume $A$ é um domínio integral).

Considere a inclusão $\im\subset \ker$. $A_a\otimes \im \subset A_a\otimes \ker$ ainda é uma inclusão, como $A_a$ é plano, então só precisamos provar que se torna uma igualdade para alguns $a$.

Mas note que esta inclusão ainda é $R$-linear (mesmo que estejamos tensionando $A$) Portanto, se o LHS contém geradores do RHS, a inclusão é uma igualdade.

$\ker$ é finitamente gerado ($R$ é noetherian, pois é finitamente gerado ao longo $\mathbb Z$e $M_2$é finitamente gerado por hipótese, portanto qualquer submódulo); então deixe$x_1,...,x_n$ denotam um conjunto de geradores.

$\mathrm{Frac}(A) \otimes \im \to \mathrm{Frac}(A)\otimes \ker$ é o colimite dirigido do $A_a\otimes \im\to A_a\otimes \ker$.

Então deixe $y_1,...,y_n\in A_a\otimes \im$ ser elementos que se tornam antecedentes de $x_1,...,x_n$ debaixo $A_a\otimes \im \to \mathrm{Frac}(A)\otimes \im$.

Conclui-se que as imagens de $y_1,...,y_n$ dentro $A_a\otimes \ker$ tornar-se identificado com $x_1,...,x_n$ dentro $\mathrm{Frac}(A)\otimes \ker$. Uma vez que há apenas um número finito deles, eles se identificam com$x_1,...,x_n$ em alguns $A_b\otimes\ker$ para alguns $b$ divisível por $a$, e entao $A_b\otimes \im\to A_b\otimes \ker$ é $R$-linear e sua imagem contém $x_1,...,x_n$, então terminamos.

Answer 2

A resposta é não sem outras hipóteses.

Na verdade, pegue $A=R=\mathbb Z$, $M_1 = M_2 = \mathbb Q, M_3 = \mathbb{Q/Z}$, a sequência $\mathbb F$ é $id_\mathbb Q$ seguido pela projeção canônica.

Claramente não é exato em $M_2$ ($id_\mathbb Q$ é sobrejetora, mas a projeção canônica não é $0$), da mesma forma se você tensor com $\mathbb Z[\frac 1 n]$ para qualquer $n$.

No entanto, se você tensor com $\mathbb Q$, você consegue $\mathbb{Q\to Q}\to 0$ o que é realmente exato.

Se você quiser uma sequência onde o composto é $0$, Voce tambem pode fazer isso:

$\mathbb Z \overset{(1,0)}\to \mathbb{Q\oplus Q}\overset{(0,1)}\to \mathbb Q$.

O composto é claro $0$, se você tensor com $\mathbb Q$, você obtém uma seqüência exata curta de divisão; no entanto, se você tensor com$\mathbb Z[\frac 1 n]$ ainda não será exato ($\ker/\mathrm{im} = \mathbb Q/\mathbb Z[\frac 1 n]$)