Exercício máximo (teoria dos conjuntos).

Question

Deixei $A$ e $B$ ser conjuntos parcialmente ordenados, e deixe $f:A→B$ser função estritamente crescente. Prove que se$b$ é o elemento máximo de $B$ , então cada um $f^*(b)$ é um elemento máximo de A.

Tentei raciocinar pelo absurdo, presumi que $ f ^ * (b) $ não é um elemento máximo de $ A $, mas não posso comparar um elemento de $ a $ com um subconjunto de $ A $, Desde a $ f ^ * ( b) = f ^ {- 1} (\{b\}) $ ($ f ^ *(b)$ é um subconjunto de $ A $) Eu não sei como comparar $ f ^ * (b) $ com algum elemento de $ A $ para usar isso $ f $ está aumentando.

Answer 1

"mas não posso comparar um elemento de a com um subconjunto de A"

Sim você pode.

Porque um elemento de$a\in f^*(b)$pode ser um elemento representativo . Prove que se$a\in f^*(b)$ então $a$ deve ser máximo em $A$.... Como $a$ foi totalmente arbitrário em $f^{*}(b)$deve ser verdade que todos os elementos de$f^*(b)$ são máximos.

E, sim, uma prova por contradição é um excelente caminho a seguir.

Presumir $a\in f^*(b)$ assim $f(a) = b$. E assumir$a$não é máximo em A. Portanto, há um$c \in A$ de modo a $c > a$.

Então......

$f(c) > f(a)=b$ Porque $f$está aumentando. assim$f(c) > b$.

Answer 2

Levar $x \in f^*(b)$. E se$x \leq y$, nosso objetivo é provar que $x=y$. Aplique$f$ para obter $b \leq f(y)$. Desde a$b$ é maximal, $b =f(y)$. Agora,$x\leq y$ significa que também $x<y$ ou $x=y$. O primeiro caso é impossível, pois$f$sendo estritamente crescente levaria a$b<b$. Assim deve ser$x=y$.