Existe um mosaico sem cantos?

Question

É possível ter uma tesselação do avião sem cantos?

Aqui está o que quero dizer precisamente: é possível colocar ladrilhos no plano, cada um dos quais sendo a região delimitada por uma curva fechada simples e suave? Suponha também que apenas um número finito de ladrilhos em qualquer região delimitada.

Acho que não, porque quando duas dessas curvas fechadas simples e suaves se separam, elas devem deixar algum tipo de cúspide que não pode ser preenchida por uma curva fechada simples e suave, mas não tenho certeza de como fazer este rigoroso.

Answer 1

Ideia:

Deixar $T$ seja um ladrilho e deixe $C$seja a curva fechada simples e suave que o delimita. Traversing$C$ nós passamos um número finito de outras peças $T_1,\ldots,T_n$, porque qualquer região limitada contém apenas um número finito de blocos. Observe que$n=1$ é impossível como então $T_1$não é delimitado por uma curva simples e suave. Então$n\geq2$, e entao $T$, $T_1$ e $T_2$ encontrar em um ponto $p$. Neste ponto$p$ pelo menos um dos três limites não é suave ao acenar à mão.

Como sugerido nos comentários de Thomas Browning: Como os limites dos ladrilhos são curvas fechadas simples e suaves, seus vetores tangentes são bem definidos em todos os pontos. Então, para cada par de peças reunidas em$p$, cruzando seus limites no sentido horário produz vetores tangentes apontando em direções opostas. Repetir isso três vezes mostra que os vetores tangentes em$p$ são opostos a si mesmos, uma contradição.

Resposta original:

Depende do que você entende por tesselação : se você considerar uma cobertura do plano por anéis concêntricos como uma tesselação, então há um exemplo para você.

Answer 2

O ângulo interno em qualquer ponto ao longo de uma curva suave é de 180 graus. Dois limites curvos que se encontram naquele ponto têm um ângulo interno líquido de 180 + 180 = 360 graus. Esse é o ângulo exato em torno do ponto. Qualquer terceiro ladrilho que o encontre deve ter um ângulo interno de 0 graus naquele ponto. 0 não é igual a 180. Portanto, o terceiro ladrilho não tem um limite suave. QED.

Acho que mesmo em um espaço hiperbólico com um ângulo total em um ponto de, digamos, 540 graus, o ângulo interno em um ponto em uma curva suave será a metade do total. (mas posso estar errado?)