Faça raízes de $z=1$ adicionar até 0?
Esse problema foi tratado várias vezes no site, mas há um aspecto menor (e possivelmente estúpido) que não consigo entender.
A declaração geral é "A soma das raízes complexas de n-ésimo grau de 1 é 0".
Como não consigo entender:
(1) A equação $z^n=1$ tem n raízes.
(2) Se $n=1$ a equação é $z=1$ tem 1 raiz e é o par $1+0i$, e como é a única raiz, a soma não é zero.
Uma questão relacionada: prove que a soma das raízes de n-ésimo grau do número complexo é 0
Respostas
As raízes de $z^n-1 = 0$ (com multiplicidade, em teoria) deve somar ao negativo do coeficiente de $z^{n-1}$. Esta é uma regra geral para qualquer polinômio.
Para $n>1$, esse coeficiente é $0$, e assim as raízes somam $0$. Para$n=1$, no entanto, esse coeficiente é $-1$, e assim as raízes somam $1$.
o $n$-ésimas raízes da unidade, $n\gt1$, as raízes de $z^n-1$, formam um grupo cíclico.
Uma vez que são todos poderes de uma raiz primitiva , digamos$e^{2πi/n}$, a soma deles é na verdade uma série geométrica: $$\sum_{k=0}^{n-1}e^{2πik/n}=\dfrac{1-e^{2πi}}{1-e^{2πi/n}}=0$$.
Quando $n=1$, a soma é claro $1$.
Alternativamente, a soma das raízes de um polinômio de grau $n$é o primeiro polinômio simétrico elementar nessas raízes. Esse é o negativo do coeficiente do$z^{n-1}$ prazo.
Em terceiro lugar, este é um caso especial das fórmulas de Vieta.