Filtro Bessel LC Ladder
Estou tendo problemas para determinar o valor dos parâmetros de um filtro LC Ladder
Considere as tabelas disponíveis para projetar filtros de escada passa-baixa de segunda ordem (série primeiro) com uma resposta de Bessel. O filtro é terminado com resistores em ambas as extremidades com RS = RL / 2. Encontre os valores dos parâmetros dos componentes para obter um filtro com \$\tau_0\$ = 0,8 ms e adaptado para um resistor de carga de 250 ohm.
Então, primeiro consultei algumas tabelas de projeto de filtro de Bessel para obter os parâmetros normalizados $$R_S=1/2$$ $$L_1=0.2601$$ $$C_2=3.5649$$
Então eu executei a escala de impedância $$R_S=1/2 \times R_L=125 \Omega$$ $$L_1=0.2601 \times R_L=65.025$$ $$C_2=3.5649 \times 1/R_L=0.0142596$$
Tudo ok. Agora o problema surge quando preciso aplicar a desnormalização de frequência. Achei que só precisava multiplicar por \$\tau_0\$ levando a:
$$L_1=52.02 \space m H$$ $$C_2=11.49768 \space \mu F$$
O que está incorreto, pois os valores deveriam ser:
$$L_1=38.2 \space m H$$ $$C_2=8.378 \space \mu F$$
O que estou fazendo errado?
Respostas
Você usou as tabelas para cargas de E / S corretamente, mas se esqueceu de aplicar a escala de frequência, tabela mostrada abaixo:
N | fs
---------
2 | 1.36
3 | 1.75
4 | 2.13
5 | 2.42
6 | 2.7
7 | 2.95
8 | 3.17
9 | 3.39
10 | 3.58
Se você dividir seus valores em, 1.36verá que os resultados correspondem.
A síntese do filtro passivo é um grande domínio, mas, em geral, o filtro é tratado como uma rede de duas portas, tendo uma fonte de tensão com um resistor em série como entrada e um resistor na saída (porta passiva duplamente terminada). Parte do procedimento de projeto é determinar quais elementos a porta terá com base em uma função de transferência.
Para este caso, os requisitos são \$R_L=1, R_S=\frac12\$, e um Bessel de 2ª ordem com um atraso de grupo de \$\tau=8\text{ms}\$. Isso faz com que todo o circuito fique assim:
Vou fazer uma abordagem diferente para encontrar os elementos. As funções de transferência para um Bessel de passagem baixa de protótipo normalizado de 2ª ordem e o circuito acima são:
$$\begin{align} H(s)&=\frac{3}{s^2+3s+3}=\frac{1}{\frac{s^2}{3}+s+1} \\ G(s)&=\frac{R_L}{R_LLCs^2+(L+R_SR_LC)s+R_S+R_L}=\frac{1}{LCs^2+(L+0.5C)s+1.5} \end{align}$$
É evidente que \$\small G(0)=\frac23\$, então \$\small G(s)=\frac23H(s)\$. Eu escolhi a representação não-monica porque agora é fácil fazer um sistema de equações a partir dos denominadores, apenas, a partir dos quais os valores dos elementos podem ser facilmente encontrados, para dois valores de \$s\$(que não precisa ser complexo). Desde por \$s=0\$ambos \$L\$e \$C\$desaparecer, vamos escolher \$s=1\$e \$s=2\$:
$$\begin{align}\left\{ \begin{array}{x} G(1)=\frac23H(1)\quad\Rightarrow\quad LC+L+C+1.5&=1.5(\frac13+1+1) \\ G(2)=\frac23H(2)\quad\Rightarrow\quad 4LC+2(L+C)+1.5&=1.5(\frac43+2+1) \end{array}\right. \end{align} \\ \Rightarrow \\ \begin{array}{x} L=1.31\,&,\quad 0.191 \\ C=0.382\,&,\quad 2.618 \end{array}$$
A solução mostra dois conjuntos de valores, qualquer um deles pode ser escolhido (mostrado abaixo). Conforme mencionado nos comentários, a escala de frequência que você teve que aplicar era simplesmente a frequência do protótipo lowpass quando:
$$ |H(j\omega)|=\left|\frac{3}{-\omega^2+j3\omega+3}\right|=\frac{3}{\sqrt{\left(3-\omega^2\right)^2+9\omega^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \\ \omega_1=\pm\sqrt{\frac32}\sqrt{\sqrt5-1}\quad\omega_2=\pm j\sqrt{\frac32}\sqrt{\sqrt5+1}$$
Uma vez que estamos lidando com números reais e positivos, \$\omega\approx 1.36\$permanece, que é o que é fornecido na tabela. O mesmo vale para todos os pedidos.
Agora, se você pegar o valor dos elementos normalizados da tabela, \$L=\frac{0.2601}{1.36}=0.19125\$e \$C=\frac{3.5649}{1.36}=2.62125\$, valores muito próximos aos calculados acima, economize arredondamentos & co. Isso pode ser aplicado a pedidos superiores; o sistema de equações ficará fofo, mas pode ser feito. Uma verificação rápida mostra que os resultados são válidos:
V(a)é o protótipo lowpass com escala de magnitude, V(b)é o seu resultado corrigido V(c)e V(d)são as duas soluções. Os traços foram ligeiramente deslocados para evitar sobreposição, mas são os mesmos, como mostra o atraso do grupo (traço pontilhado). Quaisquer que sejam as pequenas diferenças, elas são devidas a arredondamentos, nada mais. Se eles tivessem sido calculados com floatprecisão, ou mais, eles teriam se sobreposto perfeitamente.
Para fins de prova, aqui está como um Bessel de 3ª ordem poderia ser deduzido da mesma forma ( \$R_S=2, R_L=3, \tau=1\text{s}\$):
$$\begin{align} H(s)&=\frac{15}{s^3+6*s^2+15s+15} \\ G(s)&=\frac{R_L}{L_1L_2Cs^3+(R_SL_2C+R_LL_1C)s^2+(R_LR_SC+L_1+L_2)s+R_S+R_L} \end{align}$$
O sistema de equações pode ser construído de maneira semelhante e haverá muitas soluções (32), mas muitas delas terão valores negativos ou complexos. Classificá-los deixa estes dois:
$$\left\{ \begin{array}{x} L_1=0.404\,&,\quad 3.378 \\ L_2=2.87\,&,\quad 0.555 \\ C=0.288\,&,\quad 0.178 \end{array}\right.$$
Ambas as soluções funcionam (desta vez, deixei todos os traços se sobreporem):
Posso ajudar, pois projetei esses filtros, mas não tenho certeza sobre como a pergunta foi formulada.
RS = RL = 2? Ou erro de digitação, RS = RL / 2
A entrada deveria corresponder ao RS?
Este é um trabalho de casa e é o resultado esperado do guia de respostas?
Esta é minha tentativa. Compare o diagrama com a forma como seu livro-texto configura o RS e o RL nas perguntas anteriores. E é \$\tau_0\$o mesmo que \$1/f_0\$, o corte?
