Fórmula para produto vetorial
A fórmula para o produto vetorial de dois vetores em $R^3$, $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ e $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ é $$\det\begin{pmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}$$
Eu sei que em geral para três vetores 3D o determinante representa o volume do paralelepípedo. Mas como é válido colocar vetores (base)$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$em um vetor, e que significado gráfico / intuitivo isso tem? Qual teria sido a motivação inicial desta fórmula?
Nota: Já li perguntas semelhantes e respostas correspondentes, mas não fiquei satisfeito. Então, por favor, não faça downvote nesta questão e, se possível, me dê algumas dicas.
Respostas
Vinculei um vídeo nos comentários acima, mas vou resumir as ideias do vídeo nesta resposta. Temos 2 questões para resolver:
- Por que faz sentido colocar $\mathbf{i,j,k}$ em um determinante?
- Como isso resulta em um vetor com as propriedades geométricas do produto vetorial?
Para começar, afirmo que a forma "natural" do produto vetorial não é a de um vetor, mas sim a de uma função. Dados dois vetores$\mathbf a, \mathbf b$, o produto cruzado é realmente a função $f_{\mathbf a,\mathbf b}: \Bbb R^3 \to \Bbb R$ definido por $$ f_{\mathbf a,\mathbf b}(\mathbf x) = \det\pmatrix{x_1 & x_2 & x_3\\a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3}. $$ Em outras palavras, $f_{\mathbf a, \mathbf b}$ é uma função que recebe como entrada um vetor $\mathbf x = (x_1,x_2,x_3)$, e como sua saída produz o volume do paralelepípedo com bordas $\mathbf{a,b,x}$. É fácil pensar nesta função como um vetor porque é uma função linear , e todas as funções lineares$f:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ pode ser escrito na forma $$ f(\mathbf x) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3. $$ O vetor $\mathbf p = (p_1,p_2,p_3)$ pode ser pensado como uma forma de "codificar" a função $f$, uma vez que temos $f(\mathbf x) = \mathbf p \cdot \mathbf x$, Onde $\cdot$denota um produto escalar. Isso leva à nossa resposta à pergunta 1: quando calculamos o determinante com$\mathbf {i,j,k}$ tem as entradas da linha superior, acabamos com um vetor $p_1 \mathbf i + p_2 \mathbf j + p_3 \mathbf k$. Os vetores$\mathbf{i,j,k}$ atuam como substitutos de nossas coordenadas de entrada $x_1,x_2,x_3$: se calcularmos $\mathbf p \cdot \mathbf x$, acabamos com $$ p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3, $$ que é exatamente o que teríamos obtido se calculássemos o determinante com as entradas de $\mathbf x$ como nossa linha superior, ou seja, se calcularmos $f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x)$ da definição que dou acima.
Quanto à questão 2, podemos fazer as seguintes observações:
- E se $\mathbf x$ é também $\mathbf a$ ou $\mathbf b$, então $\mathbf p \cdot \mathbf x = f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = 0$. Então,$\mathbf p$ é ortogonal a ambos $\mathbf a$ e $\mathbf b$.
- Se ligarmos $\mathbf x = \mathbf p/\|\mathbf p\|$, então devemos descobrir que $\mathbf p \cdot \mathbf x = \frac{\mathbf p \cdot \mathbf p}{\|\mathbf p\|} = \|\mathbf p\|$. A partir da positivividade do determinante, vemos que a direção de$\mathbf p$ é tal que $\mathbf p, \mathbf a, \mathbf b$forma um sistema destro. Pelo fato de$f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = \|\mathbf p\|$, podemos deduzir que $\|\mathbf p\|$ é igual à área do paralelogramo com arestas $\mathbf a, \mathbf b$.
Com isso, deduzimos as propriedades do produto vetorial: $\mathbf p = \mathbf a \times \mathbf b$ é sempre ortogonal a $\mathbf a , \mathbf b$. Quando$\mathbf p \neq \mathbf 0$, $\mathbf p$ aponta na direção de tal forma que $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf p$forma uma base destra. Finalmente,$\|\mathbf p\|$ é a área do paralelogramo com lados $\mathbf a, \mathbf b$.
Como vários comentários indicaram, o que você escreveu é um dispositivo mnemônico, não uma fórmula real. Aqui está uma fórmula real, com o mesmo espírito.$$\eqalign{ \vec a\times \vec c &= &{\bf i}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf i&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ \;&{\bf j}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf j&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ &{\bf k}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf k&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ }$$