Função de geração polinomial de Hermite

Question

Como eu escreveria o seguinte polinômio em termos dos polinômios de Hermite, $H_n(z)$? \ begin {equation} P_n (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {[n / 2]} \ frac {n! a ^ k} {k! (n-2k)!} (2a z) ^ { (n-2k)} \ end {equation} Eu notei$H_n(iaz)$ parece perto, mas o $a^k$ fator é intrigante.

Esta expressão é obtida a partir de uma expansão em série da série de Taylor de \ begin {equation} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ 2} \ end {equation} Existe um conjunto de polinômios que pode ser encontrado em \ begin {equation} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ m} \ end {equation} onde$m=2,3,\dots$?

Answer 1

Você quer $a^{k+n-2k}=a^{n-k}$ e daí se você aceitar o argumento $(-a)^{n/2}$ e multiplicar por esse fator, você obterá $$(-a)^{n/2}H_n((-a)^{1/2}\cdot z)=(-a)^{n/2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2\sqrt{-a}\cdot z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{\frac{2n-2k}{2}}$$ $$=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{n-2k+k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(-2az)^{n-2k}(-a)^k=P_n(-z).$$ então $P_n(z)=(-a)^{n/2}H_n(-(-a)^{n/2}z).$