Funções contínuas de topologia de pedido

Question

Eu tenho o seguinte problema de HW:

Deixei $$Y$$ser um conjunto ordenado na topologia ordenada. Deixei$$f, g: X \to Y$$seja contínuo. Mostre que o conjunto$$\{x|f(x) \leq g(x) \}$$ está fechado em $X.$

Minha prova: mostramos que o complemento $\{x|f(x) > g(x) \}$está aberto. Observe aquilo$\{f(x)|f(x) > g(x) \}$está aberto porque é um raio aberto. Então, a imagem inversa$f^{-1}(\{f(x)|f(x) > g(x) \}) = \{x|f(x) > g(x) \}$ estará aberto porque $f$ é contínuo.

Mas o que me impressiona nessa prova é que eu só precisava usar a continuidade de $f.$ Se eu tivesse apenas a continuidade de $g$então eu também poderia ter feito a prova funcionar. Então, tudo o que é necessário é a continuidade de uma das funções? Eu brinquei com alguns exemplos em$\mathbb{R}$ e parece que é o caso, mas não tenho certeza.

Answer 1

Aqui está um contra-exemplo se $g$não é contínuo. Deixei$X=Y=\Bbb R$, deixei $f(x)=0$ para todos $x\in\Bbb R$, e deixar

$$g(x)=\begin{cases} -1,&\text{if }x\le 0\\ 1,&\text{if }x>0\,. \end{cases}$$

Então $\{x\in\Bbb R:f(x)\le g(x)\}=\{x\in\Bbb R:0\le g(x)\}=(0,\to)$, que não está fechado.

Seu argumento se extravasa no início, porque não é necessariamente verdade que $\{f(x):f(x)>g(x)\}$está aberto. Suponha que$X=Y=\Bbb R$, $f(x)=0$ para todos $x\in\Bbb R$, e $g(x)=x$ para todos $x\in\Bbb R$; então

$$\{f(x):f(x)>g(x)\}=\{0\}\,,$$

que não está aberto.

No entanto, a ideia de mostrar que $U=\{x\in X:f(x)>g(x)\}$está aberto é bom. Deixei$x_0\in U$, $a=g(x_0)$, $b=f(x_0)$. Suponha primeiro que haja algum$c\in(a,b)$. Deixei$V_a=(\leftarrow,c)$ e $V_b=(c,\to)$; $V_a$ é um nbhd aberto de $a$ dentro $Y$, e $V_b$ é um nbhd aberto de $b$. Deixei$W_a=g^{-1}[V_a]$ e $W_b=f^{-1}[V_b]$; $f$ e $g$ são contínuos, então $W_a$ e $W_b$ são nbhds abertos de $x_0$ dentro $X$. Deixei$W=W_a\cap W_b$; $W$ é um nbhd aberto de $x_0$, e para cada $x\in W$ temos $f(x)>c>g(x)$, então $W\subseteq U$.

Se não houver tal $c$, então $b$ é o sucessor imediato de $a$ dentro $Y$. Nesse caso, deixe$V_a=(\leftarrow,b)=(\leftarrow,a]$ e $V_b=(a,\to)=[b,\to)$ e prossiga para definir $W_a,W_b$, e $W$como antes. E se$x\in W$, então $f(x)\in V_b$, então $f(x)>a$, enquanto $g(x)\in V_a$, então $g(x)\le a$, e portanto $f(x)>g(x)$, ou seja, $x\in U$. Assim, neste caso, também descobrimos que$x_0\in W\subseteq U$. Em suma, cada ponto de$U$ tem um nbhd aberto contido em $U$, então $U$ está aberto, conforme desejado.