Gráficos incompatíveis em uma variedade complexa
Considere o seguinte subconjunto de $\mathbb{R}^2$. $$U=\{(x,y):x,y \in \mathbb{R}, x>0\}$$ Podemos transformá-lo em uma variedade complexa unidimensional, dando-lhe um gráfico global para o conjunto aberto de números complexos com parte real positiva. $$V=\{z \in \mathbb{C}:Re(z)>0\}$$ Considere as duas identificações a seguir, $\phi,\phi^{\prime}$: $$1)\phi(x,y)=x+iy$$ $$2)\phi^{\prime}(x,y)=x+i\frac{y}{a}$$ Onde $a$é qualquer número diferente de zero. Em geral, esses dois gráficos não são holomorficamente compatíveis, portanto, eles definem duas variedades complexas diferentes. Eu tenho dificuldade em compreender isso, qual é exatamente a diferença entre as duas variedades complexas. Estou pensando que eles deveriam ser muito semelhantes, já que os gráficos são compatíveis quando você os considera como variedades suaves. Existe algum bom exemplo em que dois gráficos incompatíveis fornecem variedades complexas bizarramente diferentes?
Respostas
Não tenho um exemplo de duas "variedades complexas bizarramente diferentes", mas posso responder à sua pergunta básica: vamos chamar o espaço topológico subjacente de suas variedades $V$, e os próprios múltiplos $M$ e $M'$. A diferença entre as duas variedades é como você define os ângulos em seu espaço topológico subjacente. Obviamente, existe uma noção padrão de ângulos em subespaços de$\mathbb R^n$ através do produto interno padrão, mas ao fazer um coletor complexo de $V$, você está jogando fora essa noção e, em vez disso, usa os gráficos para definir os ângulos. Pegue quaisquer duas curvas suaves e regulares (ou seja, as tangentes são diferentes de zero)$\gamma$ e $\eta$ dentro $M$e assumir que eles se cruzam. Então$\tilde\gamma:=\phi\circ\gamma$ e $\tilde\eta:=\phi\circ\eta$ são curvas suaves e regulares em $\mathbb C$, e eles também se cruzam. Aqui podemos considerar o ângulo entre as curvas em sua interseção e definir: O ângulo entre$\gamma$ e $\eta$ é o ângulo entre $\tilde\gamma$ e $\tilde\eta$. Estamos essencialmente lendo o ângulo de seus gráficos. E outro gráfico$\phi'$ é compatível com $\phi$apenas se a definição de ângulos por meio deste segundo gráfico fornecer os mesmos ângulos. Essencialmente, os gráficos compatíveis sempre concordam quanto aos ângulos. A razão é que esta é uma das principais características dos mapas conformes: os mapas conformes (que são os mapas holomórficos injetivos) são exatamente os mapas diferenciáveis que preservam os ângulos, e a compatibilidade requer que a mudança das coordenadas seja conforme (ou injetiva e holomórfica, que é o mesmo).
Agora voltando ao seu exemplo, você pode ver que os dois gráficos não concordam quanto aos ângulos. Pegue duas linhas: uma é a$x$-eixo, o outro é a linha que atravessa $(1,1)$e a origem. O gráfico$\phi$ nos diz que o ângulo entre eles é $\frac{\pi}{4}$, ou $45^\circ$. Mas o gráfico$\phi'$ nos diz que o ângulo é $\operatorname{atan2}(\frac{1}{a},1)$, o que não é necessariamente $\frac{\pi}{4}$. Veja aqui uma descrição de$\operatorname{atan2}$. É essencialmente uma função que pega as coordenadas de um ponto e retorna seu ângulo polar. Pode-se dizer que$M'$ é essencialmente uma versão comprimida de $M$.
No entanto, os dois ainda são conformemente equivalentes. É que o mapa conforme que estabelece essa equivalência não será a identidade em$V$, mas o "esmagamento reverso". Basicamente, um mapa conformal$\varphi:M\longrightarrow M'$ deve enviar $(x,y)$ para $(x,ay)$. Porque então se temos duas curvas regulares, suaves e que se cruzam$\gamma$ e $\eta$ em $M$, as curvas $\varphi\circ\gamma$ e $\varphi\circ\eta$ terá o mesmo ângulo entre eles de acordo com a estrutura complexa de $M'$ Como $\gamma$ e $\eta$ tem de acordo com a estrutura complexa de $M$.