Grupo fundamental de $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$

Question

Eu gostaria de calcular o grupo fundamental de $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$possivelmente usando o teorema de Van Kampen, há outra fonte sobre SE que é O espaço projetivo complexo está simplesmente conectado? mas vai além do meu conhecimento real.

Parece que há muita diferença entre o cálculo do real e do grupo fundamental projetivo complexo sem usar homologia, já que também não encontrei nenhum material em livros clássicos.

O que eu gostaria de fazer é proceder por indução, pois já sei que $\mathbb{C}\mathbb{P}^{1} \sim \mathbb{S}^{2}$simplesmente conectado. Para a etapa indutiva, gostaria de definir$A = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}- H$, Onde $H = \left\lbrace [x_{0} : \cdots : x_{n}] : x_{0} = 0\right\rbrace$ e $B = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}-[1 : \cdots : 0]$

Eu sei disso $A$ é homeomórfico para $\mathbb{C}^{n}$portanto, tem um grupo fundamental trivial. Eu gostaria de provar isso$H$ é uma deformação retraída de $B$ para concluir que ele está simplesmente conectado também e concluir porque a interseção é conectada por caminho.

Eu realmente não sei como construir adequadamente (ou seja, formalmente) a deformação em $H$. Existem maneiras simples ou mais agradáveis ​​de fazer isso?

Qualquer ajuda, sugestão ou solução que não requeira nenhuma teoria maior do que a topologia geral e usando Van Kampen seria apreciada.

Answer 1

Talvez isso ajude. Você pode obter$\mathbb CP^n$ de $\mathbb CP^{n-1}$ colando um disco de dimensão $2n$ usando o mapa canônico $S^{2n-1}\to \mathbb CP^{n-1}$. Portanto, vamos considerar a situação que$X$ é obtido de $Y$ Como $Y\cup_f e^{2n}$, Começando às $n=1$. A afirmação é então que se$X$ está simplesmente conectado, então está $Y$. Na verdade, deve seguir-se que o mapa$Y\to X$ onde a célula é adicionada induz um isomorfismo em $\pi_1$.

Para ver isso, considere um loop em $X$. Argumente (por compactação ou não) que o loop pode ser considerado como perdendo pelo menos um ponto no interior de$e^{2n}$. Depois de fazer isso, você pode usar o fato de remover um ponto de$e^{2n}$ permite que você retraia para $Y$, e o loop neste espaço é contraível.

Adicionar . O mapa$S^{2n+1}\to \mathbb CP^n$também pode ser usado um pouco mais diretamente aqui. Mostra que$ \mathbb CP^n$ é o quociente de $S^{2n+1}$ pela ação de $S^1$. Na verdade, esta projeção é uma fibração, e você tem uma longa sequência exata de grupos de homotopia que lhe dá uma descrição precisa dos grupos de homotopia de$ \mathbb CP^n$. Veja aqui .