Integral de Riemann e integral de Cauchy

Question

Faça o seguinte exercício retirado do livro:

http://93.174.95.29/main/DD7D07B152D8622B441B7E63F9D4461E

https://libgen.lc/ads.php?md5=091431F03323DE6C347E43D0475FC387

(consulte a página 14).

Considere a função definida em$[-1,0]$por$f(x) = 1/\sqrt(-x)$sobre$[-1,0)$e,$f(0) =0$. Como esta função não é limitada por$[-1,0]$, a integral de Riemann não existe. Mostre que, no entanto, a integral de Cauchy dessa função nesse intervalo existe.

Para a parte de Riemann, tudo bem. Para a parte de Cauchy, gostaria de mostrar que para qualquer sequência$(x_k)_{1\le k\le n}$de tal modo que$-1=x_0<x_1<\dots<x_n=0$, temos$$\sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}<\infty$$quando$k\to \infty$.

Eu trapaceio e escrevo isso$$\sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}<\int_{-1}^0\frac{1}{\sqrt{x}}=2$$e concluo.

Qual seria a forma correta de fazer?

Answer 1

As integrais de Riemann e Cauchy existem sobre$[-1,-c]$Onde$c > 0$, desde$f$é limitada e contínua nesse intervalo.

Para qualquer$\epsilon > 0$existe$\delta > 0$tal que para uma partição$P: -1 = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} = -c$com$\|P\| < \delta $, temos

$$2(1- \sqrt{c})- \epsilon = \int_{-1}^{-c}\frac{dx}{\sqrt{-x}}- \epsilon \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}\leqslant \int_{-1}^{-c}\frac{dx}{\sqrt{-x}}+ \epsilon = 2(1- \sqrt{c})+ \epsilon$$

Com$x_n = 0$temos

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}= \frac{0- (-c)}{\sqrt{c}}+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}= \sqrt{c}+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}$$

Desta forma,

$$-\epsilon/2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -(2 - \sqrt{c}) \leqslant \epsilon/2,$$

e quando a norma da partição completa$P': -1 = x_0 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = 0$é suficientemente pequeno temos ambos$\|P\| < \delta$e$\sqrt{c} < \epsilon /2 $

$$\left| \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -2 \right| \leqslant \left| \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -(2-\sqrt{c}) \right| + \sqrt{c}\leqslant \sqrt{c} + \epsilon/2 < \epsilon$$