Interpretação das curvas de demanda e custo
Atualmente estou começando no tópico de monopólios na escola e encontrei o seguinte cenário:
Um monopolista enfrenta uma curva de demanda dada por $Q = \frac {100} p$ e uma função de custo dada por $C = 4Q$. Preciso encontrar a elasticidade-preço da demanda (PED), bem como o nível ótimo de produção para o monopolista.
Fui ensinado que $MR = P(1 + \frac 1 \epsilon) = MC$, Onde $\epsilon$ = PED.
Eu sei que qualquer produtor produz no ponto onde $MR = MC$, mas antes mesmo de prosseguir com a resolução do PED, fico imaginando como, neste caso, posso $MR = MC$?
Se eu não estou errado, pelos meus cálculos, $MR = 0$ e $MC = 4$. Como posso interpretar isso?
Então, desde $MR \neq MC$, como posso prosseguir com esta questão?
E quaisquer explicações intuitivas sobre como posso calcular o PED e o nível ideal de saída serão muito apreciadas :)
Respostas
Seu cálculo não está errado. Em primeiro lugar, uma maneira mais fácil e intuitiva de calcular a receita marginal é apenas derivar a receita total.
A receita total é o preço vezes a quantidade $TR=P (Q) Q$onde o preço ainda é função da quantidade, já que a um preço mais alto as pessoas exigem uma quantidade menor de bens (estou expressando tudo em termos de Q, pois essa é a variável de escolha em seu modelo). Substituindo a quantidade, obtemos:
$$TR= (100/Q)Q \implies MR = \frac{dTR}{dq} = 0$$
Portanto, neste caso, eles são de fato zero. Além disso, neste caso, o problema de maximização do lucro do monopolista nem mesmo tem solução. O lucro é dado como receita total menos custos totais, então:
$$\Pi = TR-TC = (100/Q)Q -4Q$$
Se tentássemos derivar as condições de primeira ordem para a maximização, obteríamos apenas 0 = 4, o que significa que não há solução. Para deixar isso claro eu até programei uma visualização do seu problema em R, é assim que fica onde a curva verde é a demanda, a linha vermelha é a receita marginal e a linha azul é o custo marginal.
Portanto, há três opções que vejo aqui:
- Esta é uma pergunta capciosa e seu professor espera que a resposta correta seja que não há solução (nenhuma solução em números reais não negativos padrão, pois se poderia argumentar que a quantidade produzida deve ser tão pequena quanto possível, mas não zero (infinitesimal) do lado direito - no entanto, esse não é um número real padrão).
- Você interpretou mal o problema ou cometeu um engano em parte do problema que lhe pediu para primeiro criar a função de custo ou demanda de algum texto.
- Seu professor cometeu um erro ao resolver o problema.
Portanto, meu conselho é primeiro certifique-se de ler a configuração completamente, se não houver nenhum erro, entre em contato com seu professor e pergunte se é possível que o professor tenha cometido um erro, já que o RM é zero no seu caso. Se não houver erro, é a solução correta.
resposta à pergunta nos comentários:
A elasticidade de preço da demanda é definida como:
$$\epsilon = \frac{d Q}{dp}\frac{p}{Q}$$
Então, no seu caso, será:
$$\epsilon = -\frac{100}{p^2} \frac{p}{\frac{100}{p}}= -\frac{100}{p^2} \frac{p^2}{100} = -1$$
Adendo: Em resposta aos comentários, também adicionei simulação para lucros do monopolista nesta situação, assumindo que a função de lucro é:
a) $\Pi = \frac{100}{Q} Q -4Q$ - na cor vermelha
b) $\Pi = 100 - 4Q$ - na cor azul
