Interpretação de notas de variação

Question

Gostaria de uma explicação de como essa derivada parcial de Lagragiana foi obtida (eq. 3). Isso provavelmente é mais adequado para o Stack Exchange de matemática, no entanto, é para um curso de física, por isso estou postando aqui. Com base na definição de uma expansão de Taylor:

Eu não entendo como ou porque é apenas o parcial é errado $q_i$ e não todas as outras variáveis ​​para o segundo termo, junto com o motivo pelo qual é apenas errado $\dot{q}_i$no terceiro mandato. Além disso, parece que não há constantes que estão sendo multiplicadas contra cada função, nem qualquer que seja a$(x-a)$termo poderia ser. A derivada completa é definida na eq. 5, mas não corresponde aos derivados completos na eq. 3 deve ser:

Uma análise completa da matemática seria apreciada, ou pelo menos uma explicação geral e estereotipada.

Answer 1

Sua definição da série de Taylor em uma variável para derivadas de primeira ordem é

$$ f(x) = f(a) + \frac{\partial f}{\partial x}(a)(x-a) $$

Observe que negligenciamos os termos de ordem superior. Em duas variáveis, isso pareceria

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1)+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)(x_2-a_2) $$

Vamos mudar a notação para que $\delta x = (x-a)$, que representa uma mudança infinitesimal nos parâmetros. A série de Taylor acima é

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)\delta x_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)\delta x_2 $$

Agora, o que aconteceria se tivéssemos muitas variáveis? Podemos modificar a expressão acima para

$$ f(\vec x) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f(\vec a)}{\partial x_i}\delta x_i $$

Agora, o que acontece se metade das variáveis ​​são naturalmente agrupadas (todas as posições e todas as velocidades também), por que não escrevemos isso para cada dimensão $i$, retirando especificamente os dois tipos de variáveis!

$$ f(x_1, \dots,x_n,y_1,\dots ,y_n) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec a)\delta x_i+ \sum_i\frac{\partial f}{\partial y_i}(\vec a)\delta y_i $$

mas, dada a notação de soma de Einstein, sabemos que a soma está implícita, portanto, poderíamos descartar os sinais de soma se quiséssemos.

A ação é definida por

$$ S = \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

Onde $q_i$ e $v_i$são a posição e a velocidade em cada dimensão. Uma variação na ação é a série de Taylor de primeira ordem nas posições e velocidades menos a ação imperturbada.

$$ \delta S = \int dt\bigg\{L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t) + \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} - \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

O que simplifica para

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} $$

Qual é o seu resultado final. Para chegar às equações de Euler-Lagrange, podemos então definir$v_i=\dot q_i$ (ou seja, somente quando a velocidade é a derivada do tempo da posição é a solução um caminho externo da ação, mas isso são apenas detalhes).

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i\bigg\} $$Para prosseguir com esta expressão, é útil coletar as variações em cada dimensão para que possamos retirá-las da equação juntos. Isso pode ser alcançado desde$\dot q_i = d_tq_i$ e, portanto, o termo final pode ser integrado por partes para produzir

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_i\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg\}\delta q_i + \delta q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg|^2_1 $$

O termo final é um termo de fronteira e este desaparece devido à imposição de que a variação desapareça neste ponto, ou seja $\delta q=0$. Você resulta na equação de Euler-Lagrange após impor apenas soluções extremas$\delta S=0$.