Interpretação dos modos normais da fórmula matemática

Question

No tópico de pequenas oscilações, o sistema abaixo possui um modo normal descrito por:

$$n_{1} = \frac{x1+x2}{2}.$$

Este modo normal é representado como o modo simétrico:

Nesse caso, o centro de massa se move como um oscilador harmônico simples. No entanto, a imagem também mostra que os dois começam nas mesmas condições iniciais e se movem em fase. Minha pergunta é onde essa informação está na coordenada normal$n_{1}$uma vez que não consigo relacionar o modo normal com a imagem que o representa. Onde está escrito que os blocos devem ser alongados na mesma distância na mesma direção na fórmula da coordenada normal?

Answer 1

Você deve notar que a outra coordenada normal está implícita como sendo fixada em zero enquanto você considera o movimento ao longo da coordenada normal $n_1$.

As coordenadas normais de duas partículas (ou blocos, neste caso) geralmente podem ser escritas como \begin{align} n_1 =& a_{11} x_1 + a_{12} x_2, \\ n_2 =& a_{21} x_1 + a_{22} x_2.\label{eq: n1n2}\tag{1} \end{align} No seu caso específico, $a_{11}=1/2$ e $a_{12} =1/2$. Eu não calculei$a_{21}$ e $a_{22}$, mas você deve ser capaz de fazê-lo de acordo com a definição dos modos normais.

O conjunto de equações acima pode ser resolvido para $x_1$ e $x_2$ na forma de \begin{align} x_1 =& b_{11} n_1 + b_{12} n_2, \\ x_2 =& b_{21} n_1 + b_{22} n_2, \label{eq: x1x2}\tag{2} \end{align} Onde $b_{ij}$ são determinados por $a_{ij}$. De fato, ao escrever os conjuntos de equações acima por matrizes e vetores, você pode confirmar que \ begin {equation} \ begin {pmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {pmatrix} ^ {- 1}, \ end {equation} onde$A^{-1}$ significa a matriz inversa de uma matriz $A$.

O primeiro conjunto de equações (\ ref {eq: n1n2}) dá a transformação de coordenadas a partir das coordenadas $(x_1,x_2)$ que era conveniente para a sua medição e outras operações para as coordenadas normais $(n_1,n_2)$que seja conveniente para o cálculo e algum tipo de interpretação associada ao cálculo. O segundo conjunto (\ ref {eq: x1x2}) fornece a transformação inversa. Ou seja, uma vez que você calculou a evolução do tempo$n_1(t)$ e $n_2(t)$ individualmente, resolvendo as equações diferenciais, você pode prever o movimento $x_1(t)$ e $x_2(t)$ das respectivas partículas por (\ ref {eq: x1x2}).

As equações diferenciais para as coordenadas normais são \ begin {equation} \ frac {d ^ 2 n_i} {dt ^ 2} = - \ omega_i ^ 2 n_i (t), \ end {equation} para$i=1,2$, Onde $\omega_i^2$ são constantes, contanto que a força que atua no bloco $l$ é da forma $F_l = - \sum_j c_{lj} x_j$ com algumas constantes $c_{lj}$como é o caso do seu problema. A função,$n_2(t) = 0$ para todos $t$, é uma solução válida para esta equação para a condição inicial, $n_2(0) =0$ e $[dn_2/dt](0) =0$. Suponha que esta condição seja satisfeita por meio de (\ ref {eq: n1n2}) por valores particulares de$x_j(0)$ e $[dx_j/dt](0)$ ($j=1,2$) que são preparados colocando as mãos no sistema de mola e massa em $t=0$. Estes$x_j(0)$ e $[dx_j/dt](0)$ ($j=1,2$) também determinam os valores iniciais de $n_1(0)$ e $[dn_1/dt](0)$e, portanto, dar uma solução particular $n_1(t)$da equação diferencial acima. Com isso$n_1(t)$ e $n_2(t) =0$, através de (\ ref {eq: x1x2}), o movimento dos blocos é visto como \begin{align} x_1(t) =& b_{11} n_1(t), \\ x_2(t) =& b_{21} n_1(t). \end{align} E se $b_{11} =b_{21}$, então $x_1(t) =x_2(t)$, ou seja, o movimento dos dois blocos é o mesmo. Você deve ser capaz de ver que realmente$b_{11} = b_{21}$ para o seu sistema.

Answer 2

I) Equações de movimento

Energia cinética :

$$T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2_1+\dot{x}_2^2\right)$$

Energia potencial

$$U=\frac{k}{2}\left(x_1^2+(x_2-x_1)^2+x_2^2\right)$$

com Euler Langrage você obtém:

$${\ddot x}_{{1}}+{\frac {2\,kx_{{1}}-kx_{{2}}}{m}}=0\tag 1$$

$${\ddot x}_{{2}}+{\frac {2\,kx_{{2}}-kx_{{1}}}{m}}=0\tag 2$$

II) Equações de movimento: modo normal

No espaço normal, as equações de movimento serão:

$$\ddot n_1+\omega_1^2\,n_1=0\tag 3$$ $$\ddot n_2+\omega_2^2\,n_2=0\tag 4$$

para obter as equações (3) e (4) temos que transformar as coordenadas $~x_1~,x_2$ para $~n_1~,n_2$

isso pode ser feito com essas equações

$$n_1=\frac 12(x_1+x_2)$$ $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$ $\Rightarrow~$ $$x_1=n_1+n_2$$ $$x_2=n_1-n_2$$

com esta transformação você obtém:

$$\ddot n_1+\frac km\,n_1=0\tag 5$$ $$\ddot n_2+\frac{3\,k}{m}\,n_2=0\tag 6$$

Observação:

você obtém a mesma equação de resultados $(~5~,6~)$se você obtiver esta transformação:

a coordenada do centro de massa para n_1:

$$n_1=\frac{m\,(x_1+x_2)}{2\,m}=\frac 12(x_1+x_2)$$ e $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$