Limitando um erro no inverso.

Question

Suponha $f(x) = x^p + $termos de ordem inferior. Então assintoticamente$f^{-1}(x) \sim x^{\frac{1}{p}} $ para grande $|x|$. Como podemos limitar o erro nesta aproximação assintótica em termos de$|x|$

Answer 1

$f^{-1}(f(x))$ deve ser $x$. Você pode observar diferentes tipos de erros, os dois mais simples são a diferença absoluta e a diferença relativa: $$E_1(x) = x- f^{-1}(f(x)),\qquad E_2(x) = 1- \frac{f^{-1}(f(x))}{x}$$ Se você quiser encontrar uma expansão assintótica do erro no infinito, você precisa olhar $E(1/x)$ para $x$ perto de $0$. Então você pode fazer uma expansão de Taylor. Isso é melhor se usarmos$E_2$: $$E_2(1/x)=1-x\sqrt[p]{\frac1{x^p}+\sum_{k<p} a_k\frac1{x^k}}=1-\sqrt[p]{1+\sum_{k<p}a_kx^{p-k}}$$ Aqui o $a_k$ são os coeficientes em $f(x) = x^p + \sum_{k<p} a_k x^k$. Este termo é$0$ em $x=0$, a primeira derivada é alguma função que você pode derivar facilmente. Em$0$ a derivada avalia: $$-\frac1p a_{p-1}$$ Então você tem $$E_2(1/x) = 0 -\frac{a_{p-1}}{px} + O(\frac1{x^2})$$ continue desta forma.