Mão de probabilidade de pôquer

Question

Não tenho certeza sobre como resolver o seguinte problema

Compre 5 cartas aleatoriamente de um baralho de cartas. Qual é a probabilidade de obter dois pares e uma das 5 cartas é Heart-7 (♥ 7)?

Eu resolvi assim:

Caso 1 (7 é um par): (3C1) (12C1) (4C2) (11C1)

Caso 2 (7 não é um par): (12C2) (4C2) ^ 2

Portanto, a probabilidade é: ((3C1) (12C1) (4C2) (11C1) + (12C2) (4C2) ^ 2) / (52C5)

Mas acho que estou perdendo alguma coisa

Answer 1

Não é bem isso. No primeiro caso, há realmente$44$ possibilidades para o cartão ímpar, não $11$: pode ser qualquer um dos $44$cartas de denominações diferentes das dos dois pares. Se preferir é$\binom{11}1\binom41$: $11$ maneiras de escolher a denominação ímpar, e $4$ maneiras de escolher um cartão dessa denominação.

Answer 2

Caso 1 (7 é um par): (3C1) (12C1) (4C2) (11C1)

Selecione $7\heartsuit$ e um $7$ de três outros naipes, um de doze outros tipos em dois de quatro naipes (o outro par) e um de onze tipos restantes $\color{red}{\textit{in one from four suits}}$ (o singleton).

$$\def\binom#1#2{\mathop{^{#1}\mathsf C_{#2}}} {\binom 31\,\binom{12}{1}\binom 42\,\binom {11}1\binom 41}$$

Caso 2 (7 não é um par): (12C2) (4C2) ^ 2

Selecione $7\heartsuit$ como o único, e dois de doze tipos, cada um em dois de quatro naipes.$$\color{silver}{\binom{1}{1}}\,\binom{12}2{(\binom 42)}^2$$