mapa de inclusão no coletor suave

Question

Dado múltiplo suave $M$ e é uma subvariedade $S$(por exemplo, abrir subconjunto de $M$) temos mapa de inclusão $i:S\to M$.

E nós tratamos $i$ Como $i(x) = x$ tipicamente.

Por exemplo $i:S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ é válido para definir $i(x) = x$ Mas não parece, por exemplo, inclusão $i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ Como $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$

Fiquei um pouco confuso qual é a definição de inclusão aqui? Devemos tratá-la como $i(x) = x$?

Esta "inclusão" é uma incorporação topológica por configuração padrão ou não?

Eu encontrei uma explicação aqui

Answer 1

Na verdade, existem sutilezas mais profundas: A noção de uma subvariedade pode gerar muita confusão: você deseja que uma subvariedade seja imersa, deseja que seja uma subvariedade incorporada?

Uma subvariedade imersa $S$ de uma variedade de $M$é a imagem de um múltiplo sob uma imersão. Uma imersão é um mapa suave com derivada injetiva.

Um embedding é um embedding topológico , ou seja, um homeomorfismo em sua imagem (em relação à topologia do subespaço), que também é uma imersão injetiva.

Nota !: As imersões não são necessariamente injetivas, nem uma incorporação topológica!

Answer 2

o mapa de inclusão é sempre definido como $i(x) = x$ .

a razão pela qual ligamos $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$ o mapa de inclusão está sob a representação de coordenadas e tem esta forma. Mas para subvariedade incorporada $S\subset M$. Inclusão é$i(x) = x$

Quando falamos sobre variedade suave, não devemos assumir que o mapa de inclusão é um embedding topológico.

E se $S\subset M$ como subvariedade imersa suave, e $S$ tem topologia de subespaço, podemos assumir $i$ como incorporação topológica