Mapa natural para o espectro adic

Question

Estou lutando para entender a seguinte proposição sobre o espectro adic correspondente a uma curva normal sobre um campo $k$:

Proposta: Let$C$ ser uma curva normal sobre um campo $k$ e $K:=\operatorname{Frac}(A)$ para um arbitrário $\operatorname{Spec}A\subseteq C$ denotam o campo de função de $C$. Existe um mapa natural$\nu:C\to \operatorname{Spa}(K,k)$, onde o último é o conjunto de todos os anéis de avaliação $V$ com $k\subseteq V\subseteq K$ e $\operatorname{Frac}(V)=K$, definido por $x\mapsto \mathcal{O}_{C,x}$.

Eu posso ver isso $k\subseteq K$ Desde a $C$ é do tipo finito sobre $k$ e eu também sei disso $C$ sendo uma curva normal sobre $k$ implica que $\mathcal{O}_{C,x}$ é um anel de avaliação discreto para cada $x\in C$ não é um ponto genérico.

No entanto, não entendo o seguinte:

1. Porque $k\subseteq \mathcal{O}_{C,x}\subseteq K$ aguarde?
2. Porque é $\operatorname{Frac}(A)=\mathcal{O}_{C,\eta}\,,\,$ com $\eta$ sendo o ponto genérico de $C$? (Suponho que isso esteja relacionado à primeira pergunta)

Muito obrigado antecipadamente.

Answer 1

Se você quiser pesquisar isso ainda mais, o espectro adic $\mathrm{Spa}(K,k)$ é mais classicamente conhecido como espaço Riemann - Zariski $\mathrm{RZ}(K,k)$.

Suas outras questões, então, nada têm a ver com espaços ádicos, ou mesmo Riemann - espaços de Zariski, ou mesmo curvas - elas apenas pertencem ao estudo de esquemas integrais.

Então, assuma que $X$ é um esquema integral (= irredutível + reduzido) sobre um anel $R$. Observe então para cada$x$ dentro $X$ tem-se, por definição, que

$$\mathcal{O}_{X,x}=\varinjlim\mathcal{O}(U)$$

Onde $U$ abrange os bairros abertos $U$ do $x$. Observe, porém, que para cada$U$ a composição

$$U\to X\to \mathrm{Spec}(R)$$

em particular dá origem a um mapa do anel

$$R\to \mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}(U)$$

o que dá a cada $\mathcal{O}(U)$ a estrutura de um $R$-álgebra. Claramente, por construção, os mapas de transição

$$\mathcal{O}(V)\to \mathcal{O}(U)$$

para $V\subseteq U$ bairros abertos de $x$ são mapas de $R$-algebars e assim vemos, passando para o colimit, que $\mathcal{O}_{X,x}$ é um $R$-álgebra. Além disso, para qualquer$U$ nós temos uma fatoração

$$R\to \mathcal{O}(U)\to \mathcal{O}_{X,x}$$

para que os mapas $\mathcal{O}(U)\to\mathcal{O}_{X,x}$ são mapas de $R$-álgebras.

Além disso, observemos que se $y$ é um ponto generalizante $x$ então o mapa natural

$$\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,y}$$

vem do fato de que os bairros contendo $x$ todos contêm $y$ e, portanto, em particular, este mapa é claramente também um mapa de $R$-álgebras.

Finalmente, observamos que se $X=\mathrm{Spec}(A)$, então $A$ é um domínio integral e se $\eta$ denota o ponto genérico de $X$ então o mapa natural

$$A=\mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}_{X,\eta}$$

induz um isomorfismo

$$\mathrm{Frac}(A)\xrightarrow{\approx}\mathcal{O}_{X,\eta}$$

A razão é simples. Ou seja, uma vez que cada subconjunto aberto de$X$ contém $\eta$ nós temos, por definição, que

$$\mathcal{O}_{X,\eta}=\varinjlim_U \mathcal{O}(U)$$

Onde $U$ viaja por todos os subconjuntos abertos de $X$. Mas, é suficiente considerar este limite sobre um sistema de abertura de cofinal que pode ser considerado como abertura básica$D(f)$ para $f\in A$. Mas,$\mathcal{O}(D(f))=A_f$, a localização de $A$ em $f$, e os mapas de transição

$$\mathcal{O}(D(f))\to\mathcal{O}(D(g))$$

para $D(g)\subseteq D(f)$ são as inclusões $A_f\hookrightarrow A_g$ (Observe que $D(g)\subseteq D(f)$ significa que $V(g)\supseteq V(f)$ o que significa que $\sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(g)}$ o que significa que $f=g^n a$ para alguns $a\in A$, de onde fica claro que, se invertemos $g$ nós invertemos $f$ e, portanto, há uma inclusão $A_g\hookrightarrow A_f$) Mas, então está claro que

$$\mathcal{O}_{X,\eta}=\varinjlim_U \mathcal{O}(U)=\varinjlim_{D(f)}\mathcal{O}(D(f))=\varinjlim_f A_f=\mathrm{Frac}(A)$$

como desejado.

Então, se tomarmos $A=k$ então a discussão acima mostra que temos uma sequência de mapas

$$k\to \mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,\eta}\cong \mathrm{Frac}(A)$$