Maximize os lucros usando probabilidade

Question

Um jogador nas ruas tem 2 moedas carregadas com probabilidade de 0,7 de obter coroa e 1 moeda justa com probabilidade de obter cara ou coroa.

Se você obtiver 3 caras, ganha 10 dólares. Se obtiver 2 caras (não consecutivas), ganha 5 dólares, se obtiver 2 caras (consecutivas), ganha 1 dólar. Caso contrário, você não ganha nada.

Se você pode jogar o jogo muitas vezes, existe um arranjo específico de moedas para maximizar meus lucros? Como posso provar que não existe tal acordo?

Answer 1

Considere o arranjo LLF. Nós temos isso:

$P(HHH) = 0.3 \cdot 0.3 \cdot 0.5 = 0.045$ (três cabeças em uma fileira).

$P(HTH) = 0.3 \cdot 0.7 \cdot 0.5 = 0.105$ (duas cabeças, não em uma linha).

$P(HHT)+P(THH) = 0.3 \cdot 0.3 \cdot 0.5 + 0.7 \cdot 0.3 \cdot 0.5 = 0.150$ (duas cabeças em uma fileira).

A vitória esperada é:

$$10\cdot 0.045 + 5 \cdot 0.105 + 1 \cdot 0.150 = 1.125.$$

Agora, considere o arranjo LFL. Nós temos isso:

$P(HHH) = 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0.3 = 0.045.$

$P(HTH) = 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0.3 = 0.045.$

$P(HHT)+P(THH) = 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0.7 + 0.7 \cdot 0.5 \cdot 0.3 = 0.210.$

A vitória esperada é:

$$10\cdot 0.045 + 5 \cdot 0.045 + 1 \cdot 0.210 = 1.125 = 0.885.$$

Finalmente, considere o arranjo FLL. Nós temos isso:

$P(HHH) = 0.5 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.045.$

$P(HTH) = 0.5 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.105.$

$P(HHT)+P(THH) = 0.5 \cdot 0.3 \cdot 0.7 + 0.5 \cdot 0.3 \cdot 0.3 = 0.150.$

A vitória esperada é:

$$10\cdot 0.045 + 5 \cdot 0.105 + 1 \cdot 0.150 = 1.125 = 1.125.$$

Isso significa que tanto LLF quanto FLL maximizam seu retorno esperado ... portanto, não use a moeda justa para o segundo lance !!! : D

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Adição

Como observação lateral, observamos que a probabilidade de ganhar algo, ou seja,

$$P = P(HHH) + P(HTH) + (P(HHT)+P(THH))$$

é independente do arranjo e é igual a $0.3$. Vamos dar um nome a cada moeda. Vamos que uma moeda carregada seja A, a outra é B e a justa é C. Em primeiro lugar, observe que, por exemplo:

$$P(A = H, B = T, C = T) = P(B = T, C = T, A = H) = ...,$$ ou seja, não é importante a ordem.

Em segundo lugar, os lançamentos são independentes, ou seja, $$P(A = H, B = T, C = T) = P(A=H)P(B=T)P(C=T).$$

Última suposição: deixe $P(A=T) = P(B=T) = t$ (no caso específico, $t=0.7$)

Observe aquilo:

$$P = P(\text{probability to get at least two H}) = \\ ~\\ = P(A=H, B=H, C=H) \\ + P(A=H, B=H, C=T) \\ + P(A=T, B=H, C=H) \\ + P(A=H, B=T, C=H) =\\ ~\\ = P(A=H)P(B=H)P(C=H) \\ + P(A=H)P(B=H)P(C=T) \\ + P(A=T)P(B=H)P(C=H) \\ + P(A=H)P(B=T)P(C=H) =\\ ~\\ = (1-t)(1-t)0.5 + (1-t)(1-t)0.5 + t(1-t)0.5 + (1-t)t0.5 =\\ ~\\ = (1-t)^2 + 2 \cdot 0.5 t(1-t) = (1-t)^2 + t(1-t) = (1-t)((1-t)+t)) = 1-t. $$

Desde a $t=0.7$, então $P = 1-0.7= 0.3$.