Minha última senha

Question

-Qual é a sua senha? - minha sobrinha me pergunta.

-É um número de quatro dígitos.

-Eu sei que.

-É divisível por precisamente três primos.

-Me diga mais.

-Tem pelo menos um divisor comum maior que 1 com precisamente oito dos outros 23 números de 4 dígitos que podem ser formados com esses mesmos dígitos.

-Mais.

-Eu estava vivo naquele ano em particular.

Algumas horas depois:

-Agora eu sei!

Qual é a minha senha?

Answer 1

EDITAR: com informações extras fornecidas pelo OP, agora poderíamos dizer que a resposta é

1976

e isso também estraga um limite inferior da idade do OP, assumindo que ele não está mentindo (:

Resposta original:

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Não sei o que estou perdendo, mas aqui está o que consegui.

Esclarecimentos:

• Presumo que "os outros 23 números de 4 dígitos" implica que o número consiste em quatro dígitos diferentes de zero.
• Eu suponho que "pelo menos um divisor comum" significa "um divisor comum maior que $1$"

Com essas suposições, obtive:

$1435 = 5 \times 7 \times 41$
$1495 = 5 \times 13 \times 23$
$1976 = 2^3 \times 13 \times 19$
$2135 = 5 \times 7 \times 61$
$2431 = 11 \times 13 \times 17$
$3145 = 5 \times 17 \times 37$
$3196 = 2^2 \times 17 \times 47$
$3289 = 11 \times 13 \times 23$
$3514 = 2 \times 7 \times 251$
$3598 = 2 \times 7 \times 257$
$4697 = 7 \times 11 \times 61$
$5423 = 11 \times 17 \times 29$
$6149 = 11 \times 13 \times 43$
$6391 = 7 \times 11 \times 83$
$6475 = 5^2 \times 7 \times 37$
$6479 = 11 \times 19 \times 31$
$6935 = 5 \times 19 \times 73$
$7385 = 5 \times 7 \times 211$
$7469 = 7 \times 11 \times 97$
$7843 = 11 \times 23 \times 31$
$7931 = 7 \times 11 \times 103$
$8435 = 5 \times 7 \times 241$
$9361 = 11 \times 23 \times 37$
$9581 = 11 \times 13 \times 67$
$9823 = 11 \times 19 \times 47$
$9835 = 5 \times 7 \times 281$

E não vejo nenhuma informação proveniente das frases da sobrinha (ou seja, "Eu sei disso" e "Diga-me mais" não fornecem informações extras aqui, pelo que posso dizer).

Portanto, estou confuso neste ponto.

Algumas análises aqui:

Existem $1104$números com quatro dígitos diferentes de zero que têm três divisores primos.
Entre eles, encontramos o acima$26$ soluções, que é sobre $1/42$ de todos os $1104$candidatos.

Isso ainda é inferior a uma estimativa ingênua de$1 / 24$ (assumindo que o número de permutações com divisores comuns se distribuem uniformemente em $\{0,1,\dots, 23\}$)

Portanto, é bastante razoável esperar tal situação para que tenhamos muitas soluções. Ou seja, se este for apenas um quebra-cabeça matemático ...