Mostra isso $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ Onde $V_\lambda$ é o módulo Specht e $U$ é a representação do sinal de $S_n$.

Question

Este é o Exercício 4.4 (c) da Teoria da Representação de Fulton / Harris. A maioria das definições pode ser encontrada aqui:https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer. Deixei$\lambda \vdash n$. O módulo Specht$V_\lambda$ é a representação irredutível de $S_n$ definido através da imagem $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ do $c_\lambda$ é $\mathbb{C}[S_n]$ Onde $c_\lambda$é o simetrizador Young. Eu quero mostrar isso$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ Onde $U$ é a representação do signo e $\lambda'$ é a partição de $n$ conjugado com $\lambda$. Como um submódulo da álgebra de grupo$\mathbb{C}[S_n]$, temos $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$.

Alguém pode me ajudar a mostrar isso? Eu preciso definir um$\mathbb{C}[S_n]$isomorfismo do módulo, mas eu realmente não entendo como são os elementos do módulo Specht. Eu vi uma prova usando politablóides, por exemplo, em James, mas estou tentando entender a construção dos módulos de Specht como submódulos da álgebra de grupo.

Answer 1

Deixei $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ seja o mapa linear que envia uma permutação $\sigma$ para ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$. É um automorfismo de álgebra de$\mathbb{C}[S_n]$ que mapeia o módulo Specht para $\lambda$ para isso para a transposição $\lambda'$. Dica: é este mapa$S_n$-equivariante? Se não, como você pode corrigir isso?

Answer 2

Seguindo a dica de Abdelmalek Abdesselam, primeiro defina $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ através da $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$e extensão linear. É um automorfismo de álgebra que mapeia$V_\lambda \to V_{\lambda'}$. Para todos$\pi,\sigma \in S_n$, temos \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

Agora defina um mapa $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ através da $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$e extensão linear. O codomínio está correto, pois$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$. Este mapa é$S_n$-equivariante desde para qualquer $\pi,\tau \in S_n$ e $u\in U$temos \ begin {align *} \ rho (\ pi (\ tau c_ \ lambda \ otimes u)) & = \ rho (\ pi \ tau c_ \ lambda \ otimes \ pi u) & (\ text {def. de$S_n$-ação no produto tensor interno}) \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ pi u \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {desde $U$ é a representação do sinal}) \\ & = \ text {sgn} (\ pi) \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {def. de $\Phi$}) \\ & = \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) u \\ & = \ pi \ rho (\ tau c_ \ lambda \ otimes u). \ end {align *}