Mostre que$\angle BOC=\angle AOD$.

Question

Deixar$E$e$F$ser as interseções de lados opostos de um quadrilátero convexo$ABCD$. As duas diagonais se encontram em$P$. Deixar$O$ser o pé da perpendicular de$P$para$EF$. Mostre que$\angle BOC=\angle AOD$.

Aqui está o diagrama:

eu defini$X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $.

Agora, por um lema conhecido, temos$(Y,X;P,E)=-1$e pelo lema de apolônio, obtemos$PO$bissecciona$\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

Da mesma forma, sabemos que$(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$bissecciona$\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$.

Mas essas igualdades de ângulo não me levam a lugar algum. Alguém pode dar algumas dicas? Desde já, obrigado !

Answer 1

Deixe-me, por favor, reformular brevemente o problema

Um triangulo$\triangle ABC$e três cevianos$AD, BE, CF$que concordam em$P$são dados. Definir$O:=EF\cap AD$e deixar$H$ser a projeção ortogonal de$O$para$BC$. Prove que$\angle EHA=\angle KHF$.

Deixar$L:=AH\cap EF$e$K:=HP\cap EF$. Primeiro provaremos que$\angle LHO=\angle OHK$, e então isso$\angle EHO=\angle OHF$. Observe que o resultado decorre dessas observações.

Para a primeira parte, observe que -- como é bem conhecido --$$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$Desde$(J,O; K, L)$é harmônico e$\angle OHJ=90^\circ$, infere-se que, de fato,$\angle LHO=\angle OHK$. A outra parte pode ser provada de forma similar, pois já temos$(J,O;F,E)=-1$.