Mudando a direção da integração

Aug 17 2020

Preciso mudar a direção da integral:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

Pelo que sei, primeiro preciso encontrar as formas:

$0.5y^2 = x$ e $\sqrt{3-y^2} =x$

A forma I é uma parábola: $y^2 = 2x$
A forma II é um círculo $x^2 + y^2 = 3$ (raio de $\sqrt{3}$)

Então, basicamente desenhamos setas horizontais da parábola para o círculo, enquanto mantemos $0 \leq y \leq 1$.

Algo que se parece muito com esta imagem:

Precisamos desenhar linhas verticais, para que fique assim, mas temos 3 áreas:

  1. Onde atingimos a parábola (vermelho)
  2. Onde alcançamos a linha $y=1$ (verde)
  3. Onde atingimos o círculo (azul)

E então minha resposta final é:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Estou certo até agora? Se não for, como faço para corrigir isso? Sinto-me preso, pois não tenho ideia de como continuar ... Agradecia a sua ajuda! Obrigado!

Respostas

2 SiongThyeGoh Aug 19 2020 at 19:14

O que você fez está correto. Você terminou.

Verificando seu funcionamento, $y=1$ cruzar $0.5y^2=x$ em $x=0.5$. (isso corresponde à região laranja.$0.5y^2=x$ é equivalente a $y=\sqrt{2x}$ quando $y>0$.

Além disso, $y=1$ cruzar $\sqrt{3-y^2}=x$ em $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ é equivalente a $y=\sqrt{3-x^2}$ quando $y>0$.

O limite inferior é sempre $y=0$.

Você também pode expressá-lo de forma compacta como

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

A avaliação posterior depende do detalhe de $f$. Uma das possíveis motivações de realizar mudança de ordem de integral é que a forma de$f$ é mais fácil de integrar em uma determinada ordem.

Observação: Dependendo da sua comunidade, alguns escrevem como

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$