Não bloqueio da entropia máxima quântica

Question

Travabilidade e não travamento são explicadas neste documento . Uma função de valor real de um estado quântico é chamada de não travável se seu valor não mudar muito após o descarte de um subsistema. A entropia máxima de um estado quântico é definida como

$$H_{\max }(A)_{\rho}= \log \operatorname{tr}(\rho_{A}^{1 / 2})$$

Para um estado quântico bipartido $\rho_{AB}$, Gostaria de saber se a entropia máxima não pode ser bloqueada, ou seja, há alguma relação do formulário

$$\text{tr}(\rho_{AB}^{1/2}) \leq \text{tr}(\rho_{A}^{1/2})\cdot|B|$$

que, depois de tirar toras de ambos os lados, renderia

$$H_{\max}(AB)\leq H_{\max}(A) + \log|B|$$

Alguns exemplos numéricos fáceis sugerem que isso pode ser verdade, mas não fui capaz de prová-lo.

Answer 1

Deixar $D_{\alpha}(\rho\|\sigma):= \frac{1}{\alpha - 1} \log \mathrm{Tr}[\rho^\alpha \sigma^{1-\alpha}]$ ser a divergência Petz-Rényi para $\alpha \in (0,1)\cup(1,\infty)$. Observe que para$\alpha \in (0,1)\cup(1,2]$esta quantidade satisfaz a desigualdade de processamento de dados $$ D_{\alpha}(\rho\|\sigma) \geq D_{\alpha}(\mathcal{E}(\rho) \| \mathcal{E}(\sigma)), $$ Onde $\mathcal{E}$ é qualquer mapa CPTP.

Agora deixe $\rho_{AB}$ seja qualquer estado e tome $\mathcal{E}$ para ser o traço parcial sobre o $B$sistema. Então para$\alpha = 1/2$ temos $$ \begin{aligned} -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] &= D_{1/2}(\rho_{AB}\|I_{AB}) \\ &\geq D_{1/2}(\mathrm{Tr}_{B}[\rho_{AB}]\|\mathrm{Tr}_{B}[I_{AB}]) \\ &= D_{1/2}(\rho_{A}\||B|I_{A}) \\ &= -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A} |B|^{1/2}] \end{aligned} $$

Reorganizando você começa $$ \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] \leq \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A}] + \log|B|^{1/2} $$ que é na verdade uma desigualdade ligeiramente mais forte com o expoente de $|B|$ sendo apenas $1/2$.