Número do Skyrmion

Question

O número skyrmion é definido como $$n=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{M}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}\right)dxdy$$ Onde $n$ é o índice topológico, $\mathbf {M}$ é o vetor unitário na direção da magnetização local dentro do filme magnético fino, ultrafino ou em massa, e a integral é assumida em um espaço bidimensional.

Sabe-se que $\mathbf{r}=\left(r\cos\alpha,r\sin\alpha\right)$ e $\mathbf{m}=\left(\cos\phi \sin\theta,\sin\phi \sin\theta,\cos\theta\right)$. Em configurações skyrmion, a dependência espacial da magnetização pode ser simplificada definindo a variável magnética perpendicular independente do ângulo no plano ($ \theta \left(r\right)$) e a variável magnética no plano independente do raio ($ \phi \left(\alpha\right)$) Em seguida, o número do skyrmion diz:$$n=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}d\alpha\ \frac{d\theta\left(r\right)}{dr}\frac{d\phi\left(\alpha\right)}{d\alpha}\sin\theta\left(r\right)=\frac{1}{4\pi}\ [\cos\theta\left(r\right)]_{\theta\left(r=0\right)}^{\theta\left(r=\infty\right)}[\phi\left(\alpha\right)]_{\theta\left(\alpha=0\right)}^{\theta\left(\alpha=2\pi\right)}$$

Minha pergunta é: é $\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times \frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}$um produto curl e qual é o resultado desse termo? Como chegar à equação final então?

Answer 1

É não uma onda. Isso pode ser visto expressando a onda em componentes do vetor.$$\nabla \times \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_yM_z-\partial_z M_y\\ \partial_zM_x-\partial_x M_z\\ \partial_xM_y-\partial_y M_x \end{pmatrix}$$ Aqui $\partial_x$ denota a derivada parcial em relação a $x$. A quantidade$\partial_x\mathbf M$ é um vetor como $\mathbf M$. Tem componentes$$\partial_x \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_x\\ \partial_xM_y\\ \partial_xM_z \end{pmatrix}$$ Calculando a quantidade $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ é apenas uma questão de aplicar o produto vetorial. $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_y\partial_yM_z-\partial_xM_z\partial_yM_y\\ \partial_xM_z\partial_yM_x-\partial_xM_x\partial_yM_z\\ \partial_xM_x\partial_yM_y-\partial_xM_y\partial_yM_x \end{pmatrix}$$Esta é uma expressão assustadora e você provavelmente não terá muita intuição ao olhar para os componentes. O que você pode dizer sobre isso é que$\mathbf A\cdot(\mathbf B\times \mathbf C)$forma o produto triplo do vetor . Isso dá o volume medido por (o paralelepípedo de)$\mathbf A,\mathbf B$ e $\mathbf C$. Portanto, a quantidade que você está integrando é o volume abrangido por$\mathbf M,\partial_x \mathbf M$ e $\partial_y \mathbf M$.

Para calcular a integral em sua última equação é apenas uma questão de conectar tudo na minha última expressão para $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$. Isso é tedioso, mas deve ser factível.

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EDITAR Vou adicionar mais algumas informações para tornar o cálculo menos tedioso. Os derivados parciais podem ser expandidos usando a regra da cadeia $\partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial \alpha}{\partial x}\partial_\alpha$. Isso pode ser calculado como $$\partial_x=\cos\alpha\partial_r-\frac{\sin\alpha}r\partial_\alpha\\ \partial_y=\sin\alpha\partial_r+\frac{\cos\alpha}r\partial_\alpha$$ Em seguida, observe que $\partial_r\mathbf M=\frac{d\theta}{dr}\partial_\theta\mathbf M$ e $\partial_\alpha\mathbf M=\frac{d\phi}{d\alpha}\partial_\phi\mathbf M$. Se nomearmos esses vetores derivativos parciais $\mathbf e_\theta=\partial_\theta\mathbf M$ e $\mathbf e_\phi=\partial_\phi\mathbf M$ então o produto vetorial se torna $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\left(\cos\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta-\frac{\sin\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)\times\left(\sin\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta + \frac{\cos\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)$$ Finalmente você pode calcular $\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\phi=\sin\theta \,\mathbf M$ e você deve ser capaz de fazer esse cálculo sem calcular explicitamente todos os componentes.

E sim, você deve adicionar o fator $r$ quando você muda para coordenadas polares como você mencionou em seu comentário.