números primos e gcd [duplicado]

Question

Eu só queria ter certeza sobre um problema.

Deixei$m, p= \text{prime}∈ ℕ-\{0\}$

E se $$m≤p^k,$$

existe o seguinte? $$\gcd⁡(m,p)≠1⟺ \gcd⁡(m,p^k)≠1$$ e faz a restrição $$m≤p^k$$ importa para a existência?

Desde já, obrigado!!!

Answer 1

$m \le p^k$não é necessário. Se gcd$(m,p) \neq1$ então $m$ e $p$ deve compartilhar um fator comum, porque o único fator de $p$ é $p$ (e um, mas não precisaremos nos preocupar com isso) então pelo menos $p$ deve ser um fator de $m$. Se olharmos agora para o gcd$(m,p^k)$ $p^k$ terá um fator de $p$ e nós já sabemos disso $m$ tem um fator de $p$ e, portanto, gcd$(m,p^k) \neq1$ já que deve ser pelo menos igual a $p$. Em nenhum momento nós exigimos$m \le p^k$.