Objetos e morfismos em limites inversos de toposes?

Question

Certos tópicos de Galois podem ser escritos como $\lim_{i \in I} \mathbf{PSh}(G_i)$ Onde $(G_i)_{i \in I}$é um sistema inverso de grupos discretos. (O limite é um limite estrito na categoria 2 de topos de Grothendieck e morfismos geométricos.)

Quais são os objetos e morfismos neste topos?

Se todos os grupos $G_i$ no diagrama são finitos e os mapas de transição são sobrejetivos, então acredito que os objetos do topos são conjuntos $S$ junto com um $G$-ação, com a propriedade especial de que o morfismo da ação $G \to \mathrm{End}(S)$ fatores através de um dos grupos $G_i$. Os morfismos são as funções tais que$\phi(g\cdot x) = g\cdot \phi(x)$ para todos $g\in G$. Você pode fazer algo semelhante em geral?

Edit: Uma das referências padrão para isso é "Fibrações contínuas e limites inversos de toposes" . A ideia é substituir o diagrama de topos de Grothendieck por um diagrama correspondente de sítios de Grothendieck, com um tipo especial de mapas de transição (chamados de fibrações contínuas). Em seguida, um "local Grothendieck limite" é construído e o topos limite inverso é o topos das polias neste local. Mas não sei como seguir esse processo na prática, mesmo no caso descrito acima, onde todos os grupos são finitos e os mapas de transição entre os grupos são sobrejetivos.

Answer 1

A questão foi resolvida graças aos comentários de Marc Hoyois.

O topos de classificação associado a um pró-grupo é descrito por Grothendieck e Verdier em SGA4, Exposé IV, 2.7 ( link ). Grothendieck e Verdier assumem que os mapas de transição$\pi_{ij} : G_j \to G_i$ são sobrejetivos.

O topos classificatório de um pró-grupo $(G_i)_{i \in I}$ conforme definido lá, concorda com o limite inverso topos $\varprojlim_{i \in I} \mathbf{PSh}(G_i)$, por Observação 2.7 em "grupos Prodiscrete e toposes de Galois" .

Conforme sugerido por მამუკა ჯიბლაძე abaixo, aqui a construção de Grothendieck e Verdier em mais detalhes:

Os objetos de $\varprojlim_{i \in I} \mathbf{PSh}(G_i)$ são conjuntos $E$, escrito como sindicato dirigido $\bigcup_{i \in I} E_i$ onde cada $E_i$ vem com um $G_i$-ação, e tal que $E_i = \{ x \in E_j : gx = x,~\forall g \in \ker(G_j \to G_i)\}$ e a ação de $G_i$ em $E_i$ é aquele induzido pela ação de $G_j$ em $E_j$ (esta última parte é deixada implícita no SGA4).

Se escrevermos $E_j$ como uma união direta de órbitas, então $E_i$ consiste nas órbitas isomórficas a $G_j/H$ com $H$ contendo $\ker(G_j \to G_i)$. Desta forma, obtemos outra descrição dos objetos de$\varprojlim_{i \in I} \mathbf{PSh}(G_i)$. Eles são isomórficos para direcionar somas de quocientes$G_i/H$, onde dois quocientes $G_i/H$ e $G_j/H'$ são os mesmos se houver um $k \leq i,j$ e um subgrupo $H'' \subseteq G_k$ de tal modo que $\pi_{ik}(H'') = H$ e $\pi_{jk}(H'')=H'$.