OPEs de exponenciais

Question

Dado um campo holomorfo$H(z)$com OP:$$H(z)H(0)\sim -\ln z$$Qual é a maneira mais inteligente de calcular os OPE's dos operadores exponenciais$e^{\pm iH(z)}$, dado o seguinte?$$e^{iH(z)}e^{-iH(0)} \sim \frac{1}{z},$$ $$e^{iH(z)}e^{iH(0)} \sim 0,$$ $$e^{-iH(z)}e^{-iH(0)} \sim 0.$$Devo expandir$\exp$e fazer termo a termo? Ou existe uma maneira mais inteligente de fazer isso?

Answer 1

Dicas:

1. Observe que existem ordens radiais implicitamente escritas${\cal R}$e ordem normal$::$em vários lugares nas equações do OP.

2. O ponto de partida é a relação de 2 pontos$$\begin{align}{\cal R}(A(z)B(w)) ~-~:A(z)B(w): ~=~& C(z,w)~{\bf 1}, \cr C(z,w)~\equiv~&\langle \Omega | {\cal R}(A(z)B(w))|\Omega\rangle,\end{align} \tag{1} $$cf. este post do Phys.SE.

3. O teorema de Wick relevante é um teorema de Wick aninhado$$ \begin{align} {\cal R}(:e^{A(z)}::e^{B(w)}:)~=~&\exp\left( C(z,w)\frac{\partial}{\partial A(z)}\frac{\partial}{\partial B(w)}\right): e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&\ldots~=~e^{C(z,w)}: e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&e^{C(z,w)}\left(: e^{A(w)+B(w)}:~+~{\cal O}(z\!-\!w)\right) ,\end{align} \tag{2}$$cf. minha resposta Phys.SE aqui .