Os “elementos” de um número real

Question

Esta pergunta é essencialmente uma paráfrase de uma pergunta separada (excluída), que fala sobre um comentário de Asaf Karagila sobre os "elementos de$\pi$"

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Estou ciente de como os números naturais podem ser vistos como conjuntos , então, por exemplo$3$ pode ser visto como o conjunto $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$, então tem elementos $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Isso parece muito concreto e natural.

Eu posso ver que podemos adaptar isso para lidar com os inteiros, por exemplo, adicionando um segundo conjunto vazio como um elemento "marcador" (então $-3$ corresponde a $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$) Também posso ver que podemos adaptar essa ideia de "marcador" para lidar com os números racionais (que são pares de inteiros, e "marcamos" o superior e o inferior de uma determinada maneira). No entanto, já estou ficando nervoso aqui, pois isso parece muito mais sintético do que como víamos os números naturais.

De qualquer forma. Não está claro para mim como um número gosta$\pi$ ou $e$pode ter elementos. Uma maneira pode ser ver esses números como limites de sequências e, portanto, como listas de números racionais. No entanto, isso parece suspeito, pois esses números são limites de sequências múltiplas, então isso não me dá um conjunto canônico que representa esses números, mas sim uma família de conjuntos. Isso está certo ou meu raciocínio está quebrado?

Então, o que eu quero perguntar é:

Quais são os elementos de $e$?

Ou, mais sutilmente, essa pergunta faz sentido ou devemos remover a palavra "o" dela?

Answer 1

Quais são os bits exatos na string que é minha resposta? Bem, isso depende de como você o codifica. É um UTF-8, ou talvez UTF-16, ou talvez seja ASCII. Talvez você esteja usando um navegador que representa strings como sequências de terminação nula ou talvez seja um tipo de objeto mais elaborado.

A questão é que essa sequência de texto que você está lendo agora tem uma infinidade de maneiras, todas válidas e úteis a sua própria maneira, para se tornar uma sequência de bits na memória do seu computador.

Da mesma forma, os números reais são, como a maioria das pessoas geralmente pensa deles, apenas uma entidade abstrata. Como uma sequência de texto. A teoria dos conjuntos, e de fato qualquer fundamento da matemática, implementa essas entidades abstratas como conjuntos (ou de outra forma em outros fundamentos). Quais são os conjuntos exatos que são os números reais? Isso depende de como você os implementa.

A chamada rota padrão no caso dos números reais e $\sf ZFC$ (e suas teorias de conjunto relacionadas), seria:

1. Corrija uma codificação de pares ordenados, geralmente o emparelhamento de Kuratowski.
2. Usar $\omega$, o ordinal menos infinito, para modelar os números naturais.
3. Definir $\Bbb Z$ como o quociente de $\omega\times\omega$ da maneira algébrica.
4. Definir $\Bbb Q$ como o quociente de $\Bbb{Z\times Z}$ da maneira algébrica.
5. Definir $\Bbb R$ como uma conclusão de $\Bbb Q$, que no caso da teoria dos conjuntos é um pouco mais natural via cortes de Dedekind.

Nesse caso, os elementos de $e$, ou mesmo qualquer número real, são números racionais menores do que $e$. Mas quais são os números racionais? Bem, esses são conjuntos de pares de inteiros, os quais são conjuntos de pares de ordinais finitos, os quais têm uma estrutura bastante bem compreendida.

No entanto, essa não é a única maneira de codificar os números reais. Podemos escolher uma maneira diferente de codificar pares ordenados ou podemos usar a completação de Cauchy usando classes de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais. Podemos codificar os inteiros de maneira diferente, ou podemos decidir mudar de$\omega$ aos números racionais não negativos, e só então introduzir os negativos.

Existem muitas maneiras de codificar um número real em conjuntos. Na verdade, podemos simplesmente pegar qualquer conjunto de tamanho$2^{\aleph_0}$, execute "a rota padrão" e, em seguida, use uma bijeção para fazer essa codificação. Na teoria dos conjuntos, os números reais são frequentemente considerados como:

1. Subconjuntos de $\omega$.
2. Funções de $\omega$ para $\omega$.
3. Funções de $\omega$ para $2$.
4. Alguma combinação dos conjuntos acima.

Isso depende do contexto. Assim como a questão de saber se a string que você está lendo é representada de uma forma ou de outra depende de qual navegador você está usando, qual sistema operacional está usando, etc.

Então, para sua pergunta, são os elementos de$e$? Bem, isso depende de qual conjunto é$e$.

Answer 2

Seguindo Dedekind , vamos modelar cada número real como um subconjunto próprio fechado para baixo dos racionais sem um elemento maior. Então$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$

Answer 3

Depende de como você define os números reais.

O método da sequência de Cauchy para definir os reais é um pouco mais complicado do que a abordagem de Dedekind. Um número real nesta definição é uma classe de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais.

Isso significa que um elemento é uma única sequência de Cauchy $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ de números racionais que convergem para $e,$ ou, menos ciclicamente, dado:

$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ temos $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ E se $x_n-e_n\to 0.$

Answer 4

A construção padrão já de $\Bbb Z$ de $\Bbb N$é diferente da sua ideia ad hoc (que talvez seja muito mais enxuta). Usaremos intensamente pares e relações de equivalência ao longo do caminho. Portanto, lembre-se de que para pares pode-se usar a definição de Kuratowski$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ Definimos como um conjunto de classes de equivalência de pares de números naturais, $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ Onde $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ E nós injetamos $\Bbb N\to \Bbb Z$ através da $n\mapsto \overline{(n,0)}$. Com isso,$0\in\Bbb Z$ é o conjunto $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ e já muito mais complexo do que o $0=\emptyset\in\Bbb N$ que tínhamos antes.

Em seguida, normalmente definiríamos $\Bbb Q$ como classes de equivalência de pares de inteiros, $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ onde desta vez $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ E nós injetamos $\Bbb Z\to \Bbb Q$ através da $k\mapsto \overline{(k,1)}$.

São possíveis várias maneiras de chegar ao real. Eu sugeriria cortes de Dedekind, mas diferente do trabalho original de Dedekind (pares de conjuntos de racionais), eu sugeriria usar apenas conjuntos únicos de racionais (com propriedades específicas)$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$

Com isso, os elementos de $\pi$ são simplesmente números racionais $<\pi$ (por exemplo $3$ ou $\frac{22}7$ ou $-42$) Em particular$0$ é um desses elementos, mas não é $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$, nem o $0_{\Bbb Z}$ descrito em $(1)$ acima, mas a classe de equivalência de frações $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$.