Pergunta sobre assíntotas.

Question

Deixei $f(x) = 3\cdot\frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2}.$ Dê um polinômio $g(x)$ de modo a $f(x) + g(x)$ tem uma assíntota horizontal de $0$ Como $x$ aproxima-se do infinito positivo.

Eu tentei usar isso se o grau do denominador for maior do que o grau do numerador, a assíntota horizontal é $y = 0$, mas não consegui chegar a lugar nenhum. Como devo resolver isso?

Answer 1

Faça a divisão euclidiana do numerador pelo denominador: $$x^4+x^3+x^2+1=(x^2+3)(x^2+x-2) -3x+7. $$ Nós deduzimos $$f(x)=3(x^2+3)+3\frac{-3x+7}{x^2+x-2}.$$ A fração tende a $0$ Como $x\to\infty$, portanto, podemos pegar $\:g(x)=-3(x^2+3)$.

Answer 2

A melhor resposta é que depois de fazer a divisão longa polinomial, você obtém $f(x)=3x^2+9+\frac{-9x+21}{x^2+x-2}$. Observe que o terceiro termo satisfaz seu requisito de assíntota horizontal de$0$e então você deixa $g(x)$ cancele a parte esquerda, então $g(x)=-3x^2-9$.

Gráfico: https://www.desmos.com/calculator/6ynoxvdfpe