Pergunta sobre $\mathbb R^n$ e espaço (s) matemático (s)

Question

No contexto de espaços de coordenadas euclidianas e reais ($\mathbb R^n$), faz n (ou$\mathbb N$) inclui 0?

$\mathbb R^1$ é a linha de número real unidimensional

$\mathbb R^2$ é o plano de coordenadas bidimensional

$\mathbb R^3$ é o espaço de coordenadas tridimensional

E assim por diante…

Claro que existem espaços de dimensões superiores, por exemplo, é mencionado neste vídeo da Khan Academy:

https://www.youtube.com/watch?v=lCsjJbZHhHU&t=5m40s

Mas é possível ter espaços dimensionais inferiores? Como em$\mathbb R^0$. Não tenho certeza porque nem todos os autores incluem 0 no conjunto de números naturais.

O professor Norman J. Wildberger menciona brevemente os espaços 0-dimensionais aqui, mas isso está no contexto de uma "teoria do espaço matemático que não envolve os infinitos que geralmente estão associados a um tratamento de número real", como ele coloca:

http://www.youtube.com/watch?v=2WH6NTciV2Q&t=3m0s

E para mencionar uma fonte literária, há “Pointland” na novela Flatland: A Romance of Many Dimensions de Edwin A. Abbott.

Quaisquer recomendações quanto a leituras adicionais também serão muito apreciadas. Obrigado

Answer 1

Certo! A notação$\mathbb R^n$ realmente significa apenas "o conjunto de $n$-uplas de números reais "- isto é, listas ordenadas $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ onde cada $a_i$é um número real. Por este raciocínio$\mathbb R^0$ é apenas o conjunto de listas ordenadas de $0$ números reais - e há exatamente uma dessas listas de números reais zero: $()$. Assim,$\mathbb R^0$ é apenas um único ponto e passa a ser um espaço vetorial de dimensão zero.

De forma mais geral, se você quiser escrever $\mathbb R^n$, tudo isso $n$precisa fazer é especificar o tamanho de um conjunto * - e zero é um valor perfeitamente aceitável aqui. O expoente nem precisa ser um número natural - você pode falar alegremente sobre$\mathbb R^{\mathbb N}$ como o conjunto de sequências $(a_1,a_2,a_3,\ldots)$ com contáveis ​​muitos termos (ou, mais formalmente, de funções $\mathbb N\rightarrow\mathbb R$) ou mesmo fazer isso com conjuntos maiores no expoente (significando então "uma sequência de números reais indexados por esse conjunto").

(* Esta ideia é conhecida como cardinalidade em geral; o propósito dos números naturais neste contexto é que eles contam quão grandes são as coleções finitas, o que é uma boa dica de que zero é um valor válido, uma vez que as coleções podem estar vazias)