Por que esse limite multivariável existe?

Question

Considere o limite $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$$

Meu argumento para por que o limite não existe: Ele não existe ao longo do caminho $y=0$. Ou, em outra visão,$\frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$ é indefinido em pontos infinitos em qualquer vizinhança de $(0,0)$.

Mas em muitas questões como esta, o raciocínio acima é ignorado e procedemos por outras técnicas. (Assim: Limite de pecado de cálculo com duas variáveis ​​[cálculo multivariável] ) Mas como isso é válido? O limite pode existir com a função indefinida em tantos pontos ao redor do ponto determinado?

Answer 1

Aqui está uma definição de limites:

Deixei $X,Y$ ser espaços métricos, $E\subseteq X$, $f:X\to Y$ ser uma função, e $a$ ser um ponto limite de $E$. Dizemos a função$f$ tem um limite em $a$ (no espaço $Y$) se a seguinte condição for satisfeita:

• Existe $l\in Y$ tal que para cada $\epsilon>0$, existe um $\delta>0$ tal que para todos $x\in E$, E se $0 <d_X(x,a)< \delta$ então $d_Y(f(x), l) < \epsilon$.

Neste caso, podemos provar $l$ é único e nós escrevemos $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l$

Nesta formulação de limites, observe que a função $f$ não precisa ser definido em todo o espaço $X$. Ele só precisa ser definido em um determinado subconjunto$E$ (é muito bem possível que $X\setminus E$é um conjunto infinito, mas isso não importa). Além disso,$a$, onde estamos calculando o limite não precisa ser um elemento de $E$; nós só precisamos$a$ ser um ponto limite de $E$.

No seu caso, nós tomamos $X=\Bbb{R}^2, Y= \Bbb{R}$ (ambos com as métricas euclidianas usuais) e $E = \{(x,y)\in\Bbb{R}^2| \, xy \neq 0\}$. Neste caso, definimos$f:E\to Y= \Bbb{R}$ de $f(x,y) = \frac{\arctan(xy)}{xy}$, e o ponto $(0,0)$ é certamente um ponto limite do conjunto $E$. Assim, podemos certamente tentar calcular o limite (e neste caso o limite existe e é igual$1$... se precisar de mais detalhes, me avise)