Probabilidade condicional maior que 1?

Question

+-----+---------+------+----------+--------+
| Day | Outlook | Temp | Humidity | Beach? |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   1 | Sunny   | High | High     | Yes    |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   2 | Sunny   | High | Normal   | Yes    |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   3 | Sunny   | Low  | Normal   | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   4 | Sunny   | Mild | High     | Yes    |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   5 | Rain    | Mild | Normal   | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   6 | Rain    | High | High     | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   7 | Rain    | Low  | Normal   | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   8 | Cloudy  | High | High     | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+
|   9 | Cloudy  | High | Normal   | Yes    |
+-----+---------+------+----------+--------+
|  10 | Cloudy  | Mild | Normal   | No     |
+-----+---------+------+----------+--------+

Com esses dados, qual é a probabilidade de ir à praia quando Outlook = Sunny, Temp = High?

Não estou falando sobre aprendizado de máquina por enquanto.

Eu aplico o teorema de Bayes $ P(A\mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)} $.

$$ P(\textrm{Beach}\mid \textrm{Outlook}]=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High}) \\[1em]= \frac{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High }\mid \textrm{Beach })\times P(\textrm{Beach})} {P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High})} $$

Presumo que todos os atributos sejam independentes, então tenho

$$ = \frac{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}\mid \textrm{Beach })\times P(\textrm{Temp}=\textrm{High}\mid \textrm{Beach })\times P(\textrm{Beach})}{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny})\times P(\textrm{Temp}=\textrm{High})} $$

Conecte todos os valores, eu entendo $$ \begin{align*} =& \frac{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4} \times \frac{4}{10}}{\frac{4}{10}\times \frac{5}{10}} = \frac{9}{8} \end{align*} $$

Como pode uma probabilidade ser maior que 1?

Onde eu fiz de errado?

Atualizar

Depois de usar a lei de probabilidade total de gunes, eu recebo $P=\frac{27}{31}\neq 1$.

$$ \begin{align*} & \frac{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High }\mid \textrm{Beach })\times P(\textrm{Beach})}{P(\textrm{Outlook}=\textrm{Sunny}, \textrm{Temp}=\textrm{High})} \\[1em] =& \frac{P(O=S|B)\times P(T=H\mid B)\times P(B) \tag a}{P(O=S, T=H|B)\times P(B)+P(O=S, T=H|B')\times P(B') \tag b} \\[1em] =& \frac{P(O=S\mid B )P(T=H \mid B) P(B)}{P(O=S|B)P(T=H|B)P(B) +P(O=S|B')\times P(T=H|B')\times P(B') \tag a} \\[1em] = & \frac{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4} \times \frac{4}{10}}{\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{10}+\frac{1}{6}\times \frac{2}{6}\times \frac{6}{10} } = \frac{27}{31} \end{align*} $$

a: assume conditional independence
b: use total probability law

Atualização 2 para Bounty

Por favor, mostre o cálculo passo a passo para

1. probabilidade de ir à praia quando Outlook = Ensolarado, Temp = Alta
2. probabilidade de não ir à praia quando Outlook = Ensolarado, Temp = Alta (não use 1-p)
3. probabilidade de ir à praia quando Temp = Baixa, Umidade = Alta
4. probabilidade de não ir à praia quando Temp = Baixa, Umidade = Alta (não use 1-p)

Answer 1

É por causa de sua suposição de independência, o que não é verdade com base nos dados. Por exemplo,

$$P(\text{Outlook=Sunny, Temp=High}|\text{Beach})=1/2$$

pois existem 4 situações em que você vai à Praia e em apenas duas delas o Outlook está Ensolarado e a Temp é Alta. É a mesma situação para o denominador.