Probabilidade condicional: problema com um exercício

Question

Tento resolver o seguinte exercício:

In my town, it's rainy one third of the days. Given that it is rainy,
there will be heavy traffic with probability 1/2, and given that it is not rainy,
there will be heavy traffic with probability 1/4. If it's rainy and there is heavy traffic,
I arrive late for work with probability 1/2. On the other hand,
the probability of being late is reduced to 1/8 if it is not rainy and
there is no heavy traffic.
In other situations (rainy and no traffic, not rainy and traffic)
the probability of being late is 0.25

You pick a random day.

(a) What is the probability that it's not raining and there is heavy
traffic and I am not late?
(b) What is the probability that I am late?
(c) Given that I arrived late at work, what is the probability that it rained that day?

Então nós temos:

R: rain, H: heavy traffic, L: being late

$P(R)=\frac{1}{3}$,
$P(H|R)=\frac{1}{2}$, $P(H|R^c)=\frac{1}{4}$,
$P(L|H\cap R)=\frac{1}{2}$, $P(L|H^C\cap R^C)=\frac{1}{8}$, $P(L|H^C\cap R)=P(L|H\cap R^C)=\frac{1}{4}$

Resolvi as questões (a) e (b) e meus resultados são os mesmos da ficha de solução:
$(a): P(L^C\cap H\cap R^C)=1/8 $
$(b): P(L)=11/48 $

Mas eu tenho um problema com a questão (c). Minha tentativa de resolvê-lo é assim:
$ P(R|L) = \frac{P(L|R)P(R)}{P(L)}$ (Regra de Bayes)
$ =[P(L|H\cap R)P(H\cap R) + P(L|H^C\cap R)P(H^C\cap R)]\frac{P(R)}{P(L)} $ (probabilidade total)
$ =[P(L|H\cap R)P(H|R)P(R) + P(L|H^C\cap R)P(H^C|R)P(R)]\frac{P(R)}{P(L)} $ $ =[P(L|H\cap R)P(H|R)P(R) + P(L|H^C\cap R)(1-P(H|R))P(R)]\frac{P(R)}{P(L)} $ $ =(\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{3})\frac{1}{3}\frac{48}{11}=\frac{3}{24}\frac{1}{3}\frac{48}{11}=\frac{2}{11} $
Mas de acordo com a ficha de solução, o resultado correto é $\frac{6}{11}$. Então, onde cometi o erro? Sou muito novo em probabilidade, então não tenho experiência suficiente para descobrir sozinho. Agradeço antecipadamente por sua ajuda.

Answer 1

A lei da probabilidade total $$P(L)=P(L\mid H)P(H) + P(L\mid H^c)P(H^c)\tag1 $$continua a trabalhar ao lidar com probabilidades condicionais. Um dispositivo que você pode usar para lembrar como: Ao condicionar no evento$R$, escrever $P(\cdot\mid R)$ na forma $P_R(\cdot)$de modo que a probabilidade condicional se parece mais com uma probabilidade "tradicional". Você aplica a lei da probabilidade total a este$P_R$: $$P_R(L)=P_R(L\mid H)P_R(H) + P_R(L\mid H^c)P_R(H^c)\tag2$$ Agora traduza de volta: $$P(L\mid R) = P(L\mid H\cap R)P(H\mid R) + P(L\mid H^c \cap R)P(H^c\mid R)\tag3 $$ que é o formulário obtido por @JMoravitz.

Observe que você obtém (1) quando exclui o $R$de (3). Com prática você será capaz de decompor$P(L\mid R)$ saltando diretamente para (3) sem a etapa intermediária (2).

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A razão porque $P_R(L\mid H) = P(L\mid H\cap R)$: $$ \begin{align} P_R(L\mid H)&\stackrel{(a)}=\frac{P_R(L\cap H)}{P_R(H)}\\ &\stackrel{(b)}=\frac{P(L\cap H\mid R)}{P(H\mid R)} =\frac{P(L\cap H\mid R)P(R)}{P(H\mid R)P(R)}\\ &\stackrel{(a)}=\frac{P(L\cap H\cap R)}{P(H\cap R)}\\ &\stackrel{(a)}=P(L\mid H\cap R)\\ \end{align} $$O passo (a) é a definição da probabilidade condicional; etapa (b) é a definição de$P_R(\cdot)$.