Propriedade dos centros dos triângulos

Question

$M$é a interseção de 3 cevianas no triângulo$ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Pode ser facilmente provado que para os pontos Nagel e Gergonne a seguinte equação é verdadeira:$$S = xyz / r,$$Onde$S$é a área do triângulo$ABC$e$r$é o raio do círculo inscrito.

Eu me pergunto que outros centros de triângulos podem ter a mesma propriedade e qual é o lugar geométrico para eles?

Além disso, observe que, para o caso em que o ponto$M$é o centróide, a fórmula tem a seguinte aparência:$S = 2xyz/R$, Onde$R$é o raio da circunferência. Substituição$x = b/2$,$y = a/2$,$z = c/2$traz de volta ao clássico$S = abc/4R$. Talvez existam alguns outros centros de triângulos, de modo que esta equação$S = 2xyz/R$vale para eles também. Eu me pergunto em que relação particular esses pontos hipotéticos podem estar com o centróide de$ABC$?

Answer 1

Esta é apenas uma coda para os comentários acima, mas muito longa para um comentário. Se$M$tem coordenadas baricêntricas$(\lambda,\mu,\nu)$(não necessariamente positivo e normalizado para que$\lambda+\mu+\nu=1$), então ambas as condições se reduzem a uma equação cúbica da forma$$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$é uma constante que depende da (forma do) triângulo e pode facilmente ser calculada explicitamente.

Para verificar se um determinado centro (com função de centro$f$da Encyclopedia of Triangle Centers, normalizado para ser homogêneo com$f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), deve ser fácil escrever um pequeno programa, digamos no Mathematica, para verificar isso no local.

Answer 2

O GeoGebra encontrou X(7) X(8) X(506) X(507) e um pouco mais se você deixar interseções periféricas de cevians.

PS: foi encontrado um bug no GeoGebra.
Espero que seja corrigido em breve. [Editar: agora corrigido]