Prova que $x^2 + y^2 - z^2$ é universal

Question

A forma quadrática (ternária) $x^2 + y^2 - z^2$ é universal, o que significa que qualquer número inteiro $n$ pode ser representado como $n = x^2 + y^2 - z^2$ para alguns inteiros $x, y, z$.

Minha pergunta é a seguinte: quem provou esse fato primeiro? Quero saber a quem devo creditar esse fato. A literatura mais antiga que posso encontrar é o artigo de Dickson de 1929 "Os formulários$ax^2+by^2+cz^2$que representam todos os inteiros " no Bulletin of AMS ( ProjectEuclid link to paper ), onde ele dá um teorema bastante geral sobre a universalidade de todas as formas diagonais. E eu acho que a universalidade dessa forma específica pode ser mais antiga.

Answer 1

Como os outros apontam, não há como saber se isso foi escrito antes. Por exemplo, a noção de regularidade de uma forma ternária é devida a Dickson, mas a universalidade é um conceito mais fácil e poderia ter ficado sem nome por um bom tempo.

Vale ressaltar que todos os ternários universais podem ser descritos. Três dos quatro tipos estão no livro de Dickson de 1939, página 161 em Modern Elementary Theory of Numbers ; o único tipo com coeficientes "mistos" estranhos foi provado por A. Oppenheim em 1930. Sir Alexander Oppenheim foi aluno de Dickson e obteve seu Ph.D. em 1930. A dissertação foi intitulada The Minima of Indefinite Quaternary Quadratic Forms

http://www.numbertheory.org/obituaries/OTHERS/oppenheim.html

Estou tendo problemas para encontrar isto: Quarterly Journal of Mathematics (1930) 179-185. Evidentemente, foi aqui que Oppenheim publicou alguns itens. Seu obituário data de 1941 ..

A seguir estão as formas representativas sob a ação de $SL_3 \mathbb Z$ da seguinte forma: dada a matriz Hessiana $H$ de uma forma quadrática, um novo representante é $P^T H P.$

Levando $N$ estranho, enquanto $M$ é qualquer inteiro, temos universal $$ xy-Mz^2 $$ $$ 2xy - N z^2 $$ $$ 2xy + y^2 - N z^2 $$ $$ 2xy + y^2 - 2N z^2 $$