Provando a desigualdade dada [duplicado]

Question

Deixei $a_1,...,a_n$ser números positivos. Mostra isso$(a_1+...+a_n)(\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n})\ge n^2$. Só não tenho certeza de como abordar este problema, quaisquer dicas / soluções seriam muito apreciadas.

Answer 1

A Desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser declarada da seguinte forma:

$$(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\dots+y_n^2) \ge(x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n)^2$$

Agora tomando $x_i = \sqrt {a_i}$ e $y_i = \frac 1 {\sqrt {a_i}}$ (que é válido uma vez que cada $a_i > 0$):

$$(\sqrt {a_1}^2+\sqrt {a_2}^2+\dots+\sqrt {a_n}^2)\left(\frac 1 {\sqrt {a_1}^2}+\frac 1 {\sqrt {a_2}^2}+\dots+\frac 1 {\sqrt {a_n}^2}\right)\ge\left(\frac {\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_1}}+\dots+\frac {\sqrt{a_n}}{\sqrt{a_n}}\right)^2$$

que produz sua desigualdade após a simplificação.

Answer 2

Você provavelmente deve usar a desigualdade CS ou pode dividir o conjunto de todos os a_i em maiores que um e menores que um e então desprezá-los da soma oposta (os a's que são menores que um negligenciam da soma de a's à potência de um e vice-versa)

Answer 3

Você vai ver qual Desigualdade se adequa a este problema, uma vez que esteja escrita desta forma: $$ \tag{1}\label{1}\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geqslant \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} $$ Equivalentemente, $$ \left(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\right) \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}\right) \geqslant n^2 $$

Answer 4

Por AM-GM: $$a_1+a_2..a_n\ge n\sqrt[n]{a_1a_2..a_n}$$ $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+..\frac{1}{a_n}\ge n\sqrt[n]{\frac{1}{a_1a_2..a_n}}$$

Multiplicando esses resultados ...