Provar o comprimento do arco de uma determinada função é $\infty$

Question

Estou tendo problemas com um problema de lição de casa. Devemos provar que a seguinte curva tem comprimento de arco$\infty$ no intervalo $[0,1]$:

\ begin {gather *} f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R ^ 2}: t \ to \ begin {cases} (0,0) & \ text {when t = 0} \\ (t, t \ sin (\ frac {\ pi} {t})) & \ text {caso contrário} \ end {casos} \ end {reunir *}

O palestrante me disse que somos obrigados a fazer isso usando a seguinte fórmula:

\ begin {gather *} L (f | _ {[0,1]}) = \ sup \ limits _ {\ mathcal {N} net} L (f | _ {[0,1]}, \ mathcal {N} ) \ end {reunir *}

A rede que eu criei é $t_{j} = \frac{2}{3+2j}$. Isso parece certo para mim intuitivamente, mas não consigo encontrar um limite inferior para isso. Eu aprecio muito alguma ajuda com isso.

Answer 1

Deixei $t_n = \frac{2}{2n+1} > 0 $. Esta sequência é estritamente decrescente e$t_1 = \frac{2}{3} < 1$. Nós temos$$\sin(\frac{\pi}{t_n}) = \sin(n\pi + \frac{\pi}{2}) = (-1)^n = \begin{cases} 1 & n \text{ even} \\ -1 & n \text{ odd} \end{cases},$$ $$t_n + t_{n+1} = \frac{2}{2n+1} + \frac{2}{2n+3} > \frac{1}{n} .$$

Para cada $k \in \mathbb N$ deixei $$\mathcal N_k = \{s_0 = 0,s_1 = t_k, s_2 = t_{k-1}, \ldots, s_k = t_1, s_{k+1} = 1\}. $$ Então $$L(f|_{[0,1]}, \mathcal{N}_k) = \sum_{j=0}^k \lVert f((s_{j+1}) - f(s_j)) \rVert > \sum_{j=1}^{k-1} \lVert f((s_{j+1}) - f(s_j)) \rVert = \sum_{i=1}^{k-1} \lVert f(t_i) - f(t_{i+1}) \rVert .$$ Para $i = 1,\ldots,k-1$ temos $$f(t_i) - f(t_{i+1}) = (t_i,t_i\sin(\frac{\pi}{t_i})) - (t_{i+1},t_{i+1}\sin(\frac{\pi}{t_{i+1}})) = (t_i,t_i(-1)^i) - (t_{i+1},t_{i+1}(-1)^{{i+1}})) = (t_i -t_{i+1},(-1)^i(t_i + t_{i+1})) ,$$ portanto $$\lVert f(t_i) - f(t_{i+1}) \rVert = \sqrt{(t_i -t_{i+1})^2 + ((-1)^i(t_i + t_{i+1}))^2} = \sqrt{(t_i -t_{i+1})^2 + (t_i + t_{i+1})^2} > \sqrt{(t_i + t_{i+1})^2} = t_i + t_{i+1} > \frac{1}{i} .$$ Portanto $$L(f|_{[0,1]}, \mathcal{N}_k) > \sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{i} .$$ Mas é sabido que $\sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{i} \to \infty$ Como $k \to \infty$ (série harmônica).