Provar que $p | a_i$ para alguns eu

Question

Eu sei que há posts sobre isso, mas eu só queria que vocês verificassem minha prova.

E se $p$ é um primo e $p|a_1a_2...a_n$ então $p|a_i$ para alguns $1\leq i \leq n$.

Prova:

Observe que para $n=2$, a declaração é válida. Suponha que a declaração seja válida para$ 1\leq n \leq k.$ Para $n=k+1$, $p|a_1a_2a_3....a_ka_{k+1}$. Observe que existem alguns$a_j$ de tal modo que $ 1\leq j \leq k+1$ e $gcd(p,a_j)=1$ para $j \neq i$. Então$p|a_1a_2a_3..a_{j-1}a_{j+1}..a_ka_{k+1}$. Então, por hipótese de indução,$p|a_i$ para alguns $i \neq j$.

Editar:

Obrigado a todos que passaram por isso. Meu argumento não estava correto.

Obrigado a egreg por me ajudar.

Answer 1

Seu argumento está incorreto. Não há como provar que$p$ deve ser coprime com alguns dos fatores: considere o caso $p=2$, $a_1=a_2=\dots=2$.

É muito mais simples: se $p\mid a_1\dots a_ka_{k+1}$, considere $$ p\mid (a_1\dots a_k)a_{k+1} $$ e aplique o que você sabe sobre o caso $n=2$.

Answer 2

É muito mais simples do que isso.

Se for verdade para dois $a_1,a_2$ isso se $p|a_1a_2$ qualquer então $p|a_1$ ou $p|a_2$ (ou ambos).

E se é verdade que para algum $k\ge 2$ número de $a_1, a_2,......, a_k$ isso se $p|a_1a_2.....a_k$ então $p$ divide pelo menos um dos $a_i$ (ou mais, possivelmente todos, mas pelo menos um).

Então, para qualquer $k+1$ número de $a_1, a_2, ....., a_k, a_{k+1}$ então se o produto $a_1a_2..... a_ka_{k+1}$ pode ser visto como o produto de $a_1a_2a_3 .....a_k$ vezes $a_{k+1}$.

São dois números! assim$p$ qualquer um divide $a_1a_2a_3..... a_k$ ou $p$ divide $a_{k+1}$(ou ambos). E se$p|a_1a_2a_3.....a_k$ divide pelo menos um dos $a_i; i\le k$. Então também$p$ divide pelo menos um dos $a_i; i\le k$ ou divide $a_i; i=k+1$. assim$p$ divide pelo menos um de para o $a_i; 1\le i \le k+1$.

Portanto, por indução, a afirmação é verdadeira para qualquer número finito de termos.

======= postscript ====

Essa não foi a parte difícil. Era para ser óbvio. Como qualquer produto de$a_1a_2.....a_n$ do $n$ os termos podem ser agrupados em um produto menor de menos termos, deve bastar prová-lo para apenas dois termos; $a_1, a_2$. O argumento de indução acima é uma prova formal de que tal declaração é válida.

No entanto, você não tem que provar que é verdadeiro para dois termos:

Lema de Euclides: Se $p|ab$ então $p|a$ ou $p|b$ ou ambos.

Você deve provar isso.

=== Crítica da sua prova escrita n =====

Sua prova escrita:

Observe que para n = 2, a afirmação é válida.

Por quê? Isso precisa ser provado.

Observe que existe algum aj tal que 1≤j≤k + 1 e gcd (p, aj) = 1 para j ≠ i.

1. Por quê? Isso precisa ser provado.
2. Não pode ser provado porque não é verdade. Considerar$p=7; a_1 = 35$ e $a_2=49$ e estamos sendo solicitados a provar que se $7|35\times 49$ então $7|35$ do $7|49$. Você está afirmando que também$\gcd(7,35) =1$ ou $\gcd(7,49)=1$. Isso não é verdade.

Então, p | a1a2a3..aj − 1aj + 1..akak + 1. Então, por hipótese de indução, p | ai para algum i ≠ j.

Não está claro o que você está reivindicando. Mas acho que você está afirmando que se$p|a_1a_2...a_ka_{k+1}$ e $\gcd(a_i, p)=1$ (que você realmente não sabe) então $p|\frac {a_1a_2....a_ka_{k+1}}{a_i}=\underbrace{\prod\limits_{j=1;k\ne i}^{k+1}a_j}_{\text{a product of }k\text{ terms}}$

Mas porque se $\gcd(a_i, p) =1$ isso significaria $p|\frac {a_1a_2....a_ka_{k+1}}{a_i}$? Em essência, é isso que nos pedem para provar.

Isso é se $p|MN$ e $\gcd(N,P)=1$ então como você sabe $p|M$? Isso pressupõe que se$p|MN$ Então então $p|M$ ou $p|N$ (que é o que você está sendo solicitado a provar), então se $p\not \mid N$ a $p|M$. Você não pode presumir isso até ter provado o lema de Euclides em primeiro lugar.