Provar que uma função contínua é constante

Question

Por um intervalo fechado $I=[a,b]$, considere o $C^1$-funções que são $0$ nos terminais, denotados $C^1_0(I)=\{f\in C^1(I)\,|\,f(a)=f(b)=0\}$. Deixei$g\in C^0(I)$, mas não necessariamente diferenciável. Suponha que \ begin {equation} \ int_a ^ b gf '\ text {dx} = 0 \, \ quad \ forall f \ in C ^ 1_0 (I) \ ,. \ end {equation} Sou solicitado a provar que$g$ é constante em $I$. Obviamente, não posso usar integração por partes como$g$não é diferenciável. Pensei na construção de uma função de teste de maneira inteligente, mas tenho problemas para criar funções de teste que sejam contínuas, satisfazendo as condições de contorno. Alguma dica?

Answer 1

Aqui está uma prova que é muito semelhante à resposta dada por TheSilverDoe, mas pode fornecer mais informações:

1. Quais funções podem ser escritas como $f'$, $f \in C_0^1(I)$? Estas são exatamente as funções com média zero,$M := \{f \in C(I) | \int_I f \, \mathrm{d} x = 0\}$. Portanto,$$\int_I g \, f \, \mathrm{d}x = 0 \qquad\forall f \in M.$$

2. Para cada $C \in \mathbb{R}$, temos $\int_I C \, f \, \mathrm dx = 0$ para todos $f \in M$, portanto, $$\int_I (g - C) \, f \, \mathrm{d}x = 0 \qquad\forall f \in M.$$

3. Podemos escolher $C \in \mathbb R$ de tal modo que $g - C \in M$. Usando$f = g - C$ rendimentos $$ \int_I (g-C)^2 \, \mathrm dx = 0$$ e portanto $g = C$.

Answer 2

E se $g$ não é constante, há $s,t\in (a,b)$ com $s<t$ de tal modo que $g(s)\neq g(t)$. Deixei$f\in C^1_0(I)$ seja tal que sobe para $1$ em um pequeno intervalo ao redor $s$, e de uma forma completamente simétrica desce para $0$ em um pequeno intervalo ao redor $t$. De outra forma$f$ é constante.

Use continuidade de $g$ para mostrar que se os dois intervalos são estreitos o suficiente, não há como ter $\int_a^b gf'\, dx=0$.

Answer 3

Aplique sua propriedade ao $\mathcal{C}^1_0(I)$ função $$f : t \mapsto \int_a^t g(x) \mathrm{dx} - \frac{t-a}{b-a} \int_a^b g(x) \mathrm{dx}$$

Você entendeu $$\int_a^b g^2(x) \mathrm{dx} = \frac{1}{b-a} \left(\int_a^b g(x) \mathrm{dx}\right)^2$$

O caso de igualdade de Cauchy-Schwarz implica que $g$ deve ser constante.