Provas de existência e singularidade

Question

Estou tentando provar o seguinte teorema (e por favor, não me dê uma prova, esta é uma questão conceitual):

(Teorema da Representação de Negoita e Ralescu) Que haja$A_{\alpha}$, $\alpha \in [0,1]$, uma família de subconjuntos nítidos de $U$ de modo que o seguinte seja verdadeiro:

1. $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in [0,1]} A_{\alpha} \subset A_{0}$;

2. $A_{\alpha} \subset A_{\beta}$ E se $\beta \leq \alpha$

3. $\displaystyle A_{\alpha} = \bigcap_{k \geq 0} A_{\alpha_{k}}$ se $\alpha_{k}$ convergir para $\alpha$ com $\alpha_{k} \leq \alpha$, para todo $k \geq 0$.

Nessas condições, existe um, e apenas um, conjunto fuzzy $A$ dentro $U$ no qual $$A_{\alpha} = [A]^{\alpha}.$$

Este teorema é apenas para contextualizar minha pergunta. Então, sempre lutei com a prova desse tipo de afirmações. A parte da exclusividade é bastante direta, apenas suponha que tais condições criem duas coisas (conjuntos, grupos, etc.) e então mostre que essas duas coisas são realmente as mesmas. Feito, tão simples quanto isso.

A parte da existência que sempre me fez "gaguejar", porque em matemática, quando você quer que algo exista, você apenas diz que existe e depois obtém os outros resultados (estou simplificando demais, hahaha). Mas quando um dos resultados é a própria existência, não consigo encontrar uma maneira de demonstrá-lo. E isso realmente compromete minha confiança como aspirante a matemático.

Então, direto ao ponto, quais são os dispositivos lógicos que posso usar para esse tipo de problema? (essa é a questão mais importante).

E, se eu mostrar isso $[A]^{\alpha}$ satisfaz o $A_{\alpha}$ propriedades, estou mostrando que existe um conjunto fuzzy $A$ (Porque $[A]^{\alpha}$ deriva de $A$), ou estou apenas mostrando o óbvio que essas duas famílias apenas compartilham essas 3 propriedades?

Answer 1

Uma maneira de mostrar a existência é pela construção . Por exemplo, você pode querer mostrar que para qualquer triplo$(a, b, c)$ de inteiros com $$ 0 \le a < 2\\ 0 \le b < 3\\ 0 \le c < 5 $$ existe um inteiro $n$ com $$ n \bmod 2 = a\\ n \bmod 3 = b \\ n \bmod 5 = c. $$ Você pode, com um pouco de trabalho, ser capaz de dizer algo como "Vamos $$ n = (2 \cdot 3 + c) + (3 \cdot 5 + a) + (2 \cdot 5 + b)" $$ e então mostrar isso $n$tem as três propriedades necessárias. (Esta fórmula particular para$n$ não funciona, é claro, mas não consigo me lembrar o suficiente do teorema do resto chinês para lembrar como construir tal coisa.)

Alternativamente, às vezes a injetividade / sobrejetividade pode ajudar. Por exemplo, você pode observar que se$k$ e $p$ são relativamente primos, então, para qualquer $s$, os pares $$ (s \bmod k, s \bmod p)\\ (s+1 \bmod k, s+1 \bmod p)\\ \ldots\\ (s+pk-1 \bmod k,s+ bk-1 \bmod p) $$são todos distintos. Isso permite que você diga que há um número$s$ entre $0$ e $2\cdot 3 - 1$ cujos remanescentes mod $2$ e mod $3$ está $a$ e $b$(pelo princípio do escaninho). E, além disso, adicionando$6$ para $s$ não muda seus restos, então entre os números $$ s + 0 s + 1\cdot 6 \\ \ldots\\ s + 5 \cdot 6) $$ onde todos têm os mesmos resíduos mod 2 e mod 3, os resíduos mod 5 são todos números distintos (pelo mesmo pequeno teorema), então você tem cinco números distintos entre 0 e 4, portanto, cada um (pelo princípio do escaninho) deve aparecer em pelo menos um, então um deles é $c$.

Neste caso, a existência é mostrada indiretamente (por meio de escaninhos) ao invés de construtivamente.