Prove que uma função inteira e limitada é constante

Question

Deixei $f$uma função inteira. Suponha que$|f(z)|\leq 1 + |z|^{1-\alpha}$ para $\alpha \in (0,1)$ e para todos $z \in \mathbb{C}$. Provar que$f$ é constante.

Preciso provar essa afirmação sem usar o teorema de Liouville.

Estou praticamente perdida. No início, repeti quase todas as provas do teorema.

Answer 1

Assuma isso $f$ é inteiro e isso para cada $z \in \mathbb{C}$ temos $|f(z)| \leq 1+ |z|^{1-\alpha}$ para um $\alpha \in (0,1)$.

Consertar $z_0 \in \mathbb{C}$. Vamos mostrar isso$f'(z_0) = 0$. Deixei$C_R = \{ z \in \mathbb{C} | |z-z_0| = R \}$. Pela fórmula de Cauchy temos

\begin{align*}|f'(z_0)| &= \frac{1}{2\pi} \bigg| \int_{C_R} \frac{f(z)}{(z-z_0)^2} \, dx \bigg| \leq \frac{1}{2\pi} \max_{z \in C_R} \frac{|f(z)|}{|z-z_0|^2} \ell(C_R) \\ & \leq \frac{1}{2\pi} 2\pi R \frac{1}{R^2} \max_{\theta \in [0, 2\pi]} (1+|z_0 + Re^{i\theta}|^{1-\alpha}) \\ & \leq \frac{1}{R}(1+|z_0+R|^{1-\alpha}), \end{align*}

onde usamos isso $z=z_0 + Re^{i\theta}$ para $\theta \in [0, 2\pi]$ em $C_R$. Desde a$f$ é inteiro, $R$pode ser escolhido arbitrariamente. Nós deixamos$R \rightarrow \infty$ e concluir que $f'(z_0)=0$.

Em conclusão temos $f'(z)=0$ para todos $z \in \mathbb{C}$, o que significa que $f$ é constante.