Prove uma igualdade de classificação

Question

$\newcommand{\rank}{\mathrm{rank}}$

Estou tentando resolver o seguinte exercício de álgebra linear de um livro didático.

Deixei $P_1, P_2, \ldots, P_k, Q_1, Q_2, \ldots, Q_k$ seja ordem $n$ matrizes sobre o campo numérico $F$, e $P_iQ_j = Q_jP_i$, $\rank(P_i) = \rank(P_iQ_i), 1 \leq i, j \leq k$. Provar,\begin{align*} \rank(P_1P_2\cdots P_k) = \rank(P_1\cdots P_kQ_1\cdots Q_k). \end{align*}

Até agora, estou completamente sem noção. Enquanto a condição$\rank(P_i) = \rank(P_iQ_i)$ implica $P_i = P_iQ_iR_i$ para algum pedido $n$ matriz $R_i$, Não sei como aplicar a condição de comutatividade corretamente.

Para o caso $k = 2$, parece útil tentar mostrar que $\text{Im}(P_1P_2Q_1Q_2) \subset \text{Im}(P_1P_2)$. Então eu peguei qualquer$x \in \text{Im}(P_1P_2)$, conseqüentemente $x = P_1P_2y = P_1P_2Q_2R_2y$ para alguns $y \in F^n$. Então eu fiquei preso.

Answer 1

Vamos provar isso por indução, vou escrever o caso base em detalhes (então, se você tiver dificuldades com a etapa de indução, não hesite em pedir ajuda).

k = 2:

$rank(P_1P_2)=rank(P_2)-dim(KerP_1\cap ImmP_2)$ (veja a nota (*) no final)

$rank(P_1P_2Q_1Q_2)=rank(P_1Q_1P_2Q_2)=rank(P_2Q_2)-dim(KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2)$

onde usei a condição de comutatividade para a primeira passagem e (*) para a segunda.

Pela condição: $rank(P_i)=rank(P_iQ_i)$ nós deduzimos que: $rank(P_2)=rank(P_2Q_2)$. Portanto, temos que demonstrar que:$dim(KerP_1\cap ImmP_2)=dim(KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2)$.

É fácil ver que: $KerP_1\subseteq KerQ_1P_1=KerP_1Q_1$ e: $ImmP_2Q_2\subseteq ImmP_2$. Mas também sabemos que$dim(KerP_1)=dim(KerP_1Q_1)$ (porque as duas matrizes têm a mesma classificação, segue-se do teorema da nulidade de classificação), e $dim(ImmP_2Q_2)=dim(ImmP_2).$ Portanto, podemos concluir que: $KerP_1=KerP_1Q_1$, $ImmP_2Q_2=ImmP_2$.

Considerando que $KerP_1\cap ImmP_2=KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2$, concluímos que eles têm a mesma dimensão.

(*) $General$ $fact$: Dado $A$ (matriz de tamanho $m\times n$) e $B$ (do tamanho $n\times k$) temos que: $rank(AB)=rank(B)-dim(KerA\cap ImmB)$

$Proof$: Podemos interpretar matrizes como mapas lineares. Nós temos:$A:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m$, $A:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^n$, $AB:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^m$.

$Imm(AB)=A(ImmB)=Imm(A_{|ImmB})$ e $Ker(AB)=Ker(A_{|ImmB})=KerA\cap ImmB$.

Portanto: $rank(B)=dim(ImmA_{|ImmB})+dim(KerA_{|ImmB})=dim(ImmAB)+dim(KerA\cap ImmB)$.