Pseudoinversa de uma matriz diagonal

Question

Deixe a matriz$A \in \Bbb R^{n \times n}$tenho$k$elementos diagonais, onde$k < n$, e o resto dos elementos são zero. Estou tentando encontrar o pseudoinverso de$A + \lambda I$quando$\lambda$se aproxima de zero.

Então$\frac{1}{a_i + \lambda}$seriam os elementos diagonais para$i$indo de 1 a$k$do pseudo inverso e$\frac{1}{\lambda}$seria o resto dos elementos diagonais. se eu colocar$\lambda$igual a zero então o pseudo inverso seria uma matriz com elementos de$A$matriz invertida, mas haveria elementos indo para o infinito. Mas isso não parece certo. O que há de errado nessa lógica?

Answer 1

O problema é que a pseudo inversa não é uma função contínua no espaço de matrizes exatamente como você mostrou. Considere a matriz 1d$(x)$por$x\in\mathbb R$. Então o mapa pseudo-inverso é$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Isso não é contínuo em zero e, portanto, não esperaríamos que preservasse um limite de um elemento para zero. O mesmo acontece com seu exemplo quando restringimos ao kernel de$A$.