Qual é a solução de $x^3+x=1$? [fechadas]

Question

De acordo com Wolfram | Alpha, a solução de $x^3+x=1$ é aproximado $0.68233$ou exatamente esta monstruosidade :

$x_0=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9+\sqrt{93})}}{3^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9+\sqrt{93})}}$

$x^3+x=1$é tão simples, que me recuso a acreditar que essa construção feia seja a maneira mais simples. Estou certo?

Answer 1

$$ \left( \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} + \left( \frac{1}{2} \left( 1 - \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} $$

Answer 2

alternativamente $$x=\frac2{\sqrt3}\sinh\left( \frac13\sinh^{-1}\frac{3\sqrt3}2\right)$$ que pode ser menos monstruoso.

Answer 3

Você pode reorganizar x ^ 3 + x = 1 como x ^ 3 = 1 - x, e deixar x = u + v. Observe que pelo teorema binomial, (u + v) ^ 3 = u ^ 3 + 3vu ^ 2 + 3uv ^ 2 + v ^ 3 = u ^ 3 + v ^ 3 + 3uv (u + v), sugerindo que u ^ 3 + v ^ 3 = 1, enquanto -1 = 3uv. -1 = 3uv implica v = -1 / (3u), então u ^ 3 - 1 / (27u ^ 3) = 1, implicando 27u ^ 6 - 1 = 27u ^ 3. Você pode reorganizar isso como 27 (u ^ 3) ^ 2 - 27u ^ 3 - 1 = 0. Este é um quadrático em relação a u ^ 3, então você pode usar a fórmula quadrática para concluir que u ^ 3 = [27 + sqrt (93)] / 54 ou u ^ 3 = [27 - sqrt (93)] / 54, embora realmente não importe, uma vez que v ^ 3 sempre será o conjugado de u ^ 3. Portanto, x = u + v = cbrt ([27 + ​​sqrt (93)] / 54) + cbrt ([27 + ​​sqrt (93)] / 54). Isso é equivalente ao que foi postado, apenas requer algumas manipulações algébricas para chegar lá. E sim, esta é a maneira mais simples de escrever a resposta. É o que é. Infelizmente, problemas simples nem sempre têm soluções simples. E as leis da lógica não se importam com nosso conceito insignificante de simplicidade de qualquer maneira.

Answer 4

Se alguém reorganizar $x^{3}+x= 1$ Como

$x^{2} + 1 = \frac1x$

em seguida, a figura a seguir mostra uma abordagem alternativa para obter a solução (real) iterativamente, começando com alguma aproximação de raiz (por exemplo $x_0=0.5$ na figura), calculando $x_0^{2} + 1$ para obter a primeira iteração $x_1=\frac{1}{x_0^{2}+1}$e assim por diante. Em comparação com as formas inevitáveis ​​de expressar a solução exata, a equação iterativa para convergência em 0,68233 (5 dp) parece bastante simples:

$x_{n+1} = \frac{1}{x_n^{2}+1}$

Tal é a simetria das curvas (mostrei apenas o quadrante com raiz real), não há restrição na escolha do valor real inicial $x_0$ para alcançar a convergência.