Quando a perspectividade dos triângulos é transitiva?

Question

Estou tendo um problema com o Exercício 2.4.2 no livro Geometria Projetiva de HSM Coxeter:

Se dois quadrantes tiverem o mesmo conjunto quadrangular, seus triângulos diagonais serão em perspectiva.

Na minha tentativa, desenhei dois quadrantes $ABCD$ e $NQOP$ com o mesmo conjunto quadrangular $(HE)(IJ)(GF)$na linha verde. O triângulo diagonal para$ABCD$ é o triângulo azul $MLK$, e isso para $NQOP$ é o triângulo vermelho $RST$. Agora eu vejo que triângulos$ABD$ e $QOP$ são a perspectiva da linha verde, triângulos $ABD$ e $MKL$ são perspectiva do ponto $A$e triângulos $QOP$ e $TRS$ são perspectiva do ponto $O$. Como posso deduzir isso$MKL$ e $TRS$são as perspectivas da linha verde (que eu estou supondo da imagem)?

Answer 1

$ABC$ e $OQN$ são perspectiva da linha verde, portanto, são perspectiva de um ponto: $AO$, $BQ$ e $CN$ são simultâneos em um ponto $X$.

Similarmente, $ABD$ e $OQP$ também estão em perspectiva da linha verde, então $AO$, $BQ$ e $DP$ também são concorrentes - portanto $DP$ também passa $X$.

$BMC$ e $QRN$ também estão em perspectiva da linha verde, então $BQ$, $MR$ e $CN$ também são concorrentes, então $MR$ atravessa $X$.

Da mesma forma (usando os pares de triângulos de perspectiva $KBD$ com $TQP$ e $LBD$ com $SPQ$) podemos provar que $TK$ e $SL$ também passa $X$, tão $MKL$ e $TRS$ são perspectiva do ponto $X$.