Quando uma forma torcida vem de um torso trivial?
Considere um feixe de grupos$G$, equipado com um torsor esquerdo$P$e outra ação esquerda$G$em alguns$X$. Forme o produto contratado$P \times^G X := (P \times X)/\sim$Onde$\sim$é o quociente antidiagonal:$(g.p, x)\sim (p, g.x)$.
Q1: Quando é$P\times^G X$trivial? Ou seja, quando temos um isomorfismo$P \times^G X \simeq X$?
Resposta parcial:$P \times^G X \simeq X$sobre$[X/G]$se$P \times [X/G]$é um torsor trivial sobre o quociente de pilha$[X/G]$.
Prova: podemos reescrever$P \times^G X$como produto contratado de dois torsores $(P \times [X/G])\times^G_{[X/G]} X$. Então nós contratamos com ``$X^{-1}$'' -- o inverso da contratação com$X$como um torso sobre$[X/G]$e nós vencemos. (como em Pontos Racionais sobre Variedades de B. Poonen, seção 5.12.5.3)
Estou autorizado a fazer isso? Este argumento provavelmente não deveria apelar para pilhas algébricas e pode ser um tanto duvidoso.
Q2: Se eu tiver um isomorfismo$P \times^G X \simeq X$, posso escolher outro que esteja sobre$[X/G]$? Ou pelo menos é$G$-equivariante?
Q3: Existe uma maneira natural de escrever a trivialidade de uma forma tão distorcida?
eu pensei primeiro$P \times^G X \simeq X$se$P$foi trivial, o que é claramente falso para ações triviais em$X$. Então eu estava animado para ter o recuo$* \to BG$representam a trivialidade da forma torcida $P \times^G X$assim como o torso$P$. Existe um representante natural do feixe de isomorfismos entre$P \times^G X$e$X$?
Todos podem ser feixes, embora eu esteja interessado principalmente em$G = GL_n, PGL_n, SL_n$, etc. agindo em$X = \mathbb{A}^n, \mathbb{P}^n$como apropriado. Mais ambicioso é$G = \text{Aut}(X)$por simples mesmo$X$. Eu ficaria feliz com respostas em qualquer nível de generalidade.
Declaração de Due Diligence: Eu sou um novato na área de "formas torcidas" de variedades, então peço desculpas se o acima é evidente ou obtuso. Verifiquei todas as "perguntas semelhantes" listadas aqui e não consegui encontrar uma resposta.
Respostas
Esse lema pode ser válido em um contexto topos-teórico mais geral, mas por "segurança" vou formulá-lo em um cenário mais restrito.
Lema : Deixe$G$ser um esquema de grupo com uma ação$\rho: G \times X \to X$correspondente a um morfismo$\varphi: G \to \mathrm{Aut}(X)$. Presumir$G, \mathrm{Aut}(X)$são suaves sobre um campo$k$, deixar$S$seja um$k$-esqueça e deixe$P$seja um$G$-torsor em$S$. Então$P \times^G X \simeq X \times S$se e somente se existe um morfismo$\sigma: S \to \mathrm{Aut}(X)/G$de tal modo que$P$é o torsor dos mapas$\tilde{\sigma}: S \to \mathrm{Aut}(X)$com$\tilde{\sigma} = \sigma \,\mathrm{mod} \, G$.
Estou exigindo que os grupos sejam suaves apenas para que as pilhas de classificação sejam algébricas. Em vez de tentar formular e provar com precisão tal lema aqui, vou listar 2 maneiras de pensar sobre isso:
Morfismo da versão de classificação de pilhas : O mapa$\varphi: G\to \mathrm{Aut}(X)$induz um morfismo$B\varphi: BG \to B\mathrm{Aut}(X)$, e pode-se verificar que a fibra de$B\varphi$sobre o mapa$\gamma: S \to B\mathrm{Aut}(X)$classificação$X$é$S \times \mathrm{Aut}(X)/G$.
Sequência exata da versão dos grupos de cohomologia : Pelo menos quando$G$e$\mathrm{Aut}(X)$são abelianos, haverá uma sequência exata$$\cdots \to H^0(S,\mathrm{Aut}(X)/G) \to H^1(S, G) \to H^1(S, \mathrm{Aut}(X)) \to \cdots $$Em geral, pode haver uma sequência exata semelhante ("de conjuntos"), mas não estou confiante o suficiente com grupos de cohomologia não abeliana para afirmar isso.