Quebrando a lei pelos números

Question

O agente especial Benford foi impedido por um terceiro caso não resolvido de contabilidade criativa infame e se aposentará voluntariamente da Força-Tarefa de Números Fraudulentos. A capacidade de Benford de detectar registros falsificados apenas pela contagem dos primeiros dígitos das entradas numéricas é tão conhecida que uma lei leva o nome de nosso herói caído.

Lei de Benford : Em uma folha de contabilidade honesta, o primeiro dígito de quase 1/3 de todas as entradas numéricas deve ser '1', muito mais frequentemente do que '2' ou qualquer outro numeral. A contagem de cada algarismo sendo o primeiro dígito se encaixa em um padrão decrescente onde '9' é o primeiro dígito com o menor número de números.

Essa metodologia serviu bem a Benford durante décadas de serviço, já que contadores inescrupulosos, em sua maioria, manipulavam números decimais . Com o passar dos anos, no entanto, dois casos não foram resolvidos porque envolviam outros sistemas de numeração. Todos os números inteiros positivos são suspeitos.

1. Caso um não resolvido. Reconhecendo o sistema de numeração mais antigo conhecido, Benford sabia que seus primeiros dígitos não levariam à condenação.

2. Caso dois não resolvido. Benford reconheceu esse sistema de numeração como aquele empregado por praticamente todos os computadores modernos e novamente teve que admitir que seus primeiros dígitos estavam livres de pistas.

Por fim, infelizmente, veio o último caso.

1. Caso três não resolvido. Benford nunca havia encontrado esse sistema de numeração, mas ao ver as entradas percebeu que eles também desafiariam "A Lei". Antes de desistir, Benford aprendeu que o mesmo sistema de numeração desviante foi visto entre os círculos acadêmicos durante séculos, embora raramente, e na verdade tem sido a base de alguns computadores digitais habilmente eficientes.

Quais são os sistemas de numeração dos casos um, dois e três e por que eles são tão sem lei?

Desafio Bounty: Em qual desses casos o substituto de Benford, Sucessor do Agente Especial, pode ter mais sucesso contando os segundos dígitos das entradas? Quais seriam as frequências numéricas esperadas?

_{(Nenhum jogo de palavras sujo está acontecendo.)}

Answer 1

Acho que a resposta é a seguinte.

Caso Um:

Unário , também conhecido como aritmética de contagem. Cada número é dado por um número de símbolos (normalmente barras verticais semelhantes ao numeral), portanto, o primeiro "dígito" é sempre o mesmo. Este é, obviamente, o método de contagem mais antigo.

Caso dois:

Binário . Novamente, o primeiro dígito de cada número é 1, portanto, a lei de Benford não pode ajudar. O binário é a base para a maioria das arquiteturas de computador modernas.

Caso três:

Ternário equilibrado . No ternário balanceado, os dígitos são 1, 0 e -1, e o primeiro dígito de cada número positivo é sempre 1. Existem várias razões teóricas pelas quais o ternário balanceado torna certas operações matemáticas mais eficientes, e aparentemente foi usado como base para alguns Computadores soviéticos no passado.

Bônus:

Olhar para o segundo dígito fornecerá algum viés estatístico nos casos binários e ternários balanceados, mas não no caso unário. Para o caso binário, usando uma generalização direta da distribuição fornecida na Wikipedia , a probabilidade do segundo dígito ser 0 é$\log_2(3) -\log_2(2)$, que é cerca de 58,5%.

Para o ternário equilibrado, a distribuição do segundo dígito parece que deveria ser semelhante ao ternário, mas é sutilmente diferente. Para fazer isso, vamos relacionar a distribuição ternária balanceada à distribuição ternária regular. Na distribuição ternária regular, a probabilidade de um número começar com$n$ (como uma sequência de dígitos) é $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

Para facilitar a apresentação, podemos ignorar os números com menos de 3 dígitos ternários balanceados, já que haverá um número finito de exceções às regras que postulamos abaixo, que desaparecem quando olhamos para a infinidade de inteiros. Além disso, usaremos os símbolos$+$, $\cdot$ e $-$ para nossos dígitos ternários equilibrados.

Vejamos primeiro o caso em que o segundo dígito é $-$. Convertendo para ternário, temos$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, e assim por diante. Assim, o segundo dígito de um número ternário balanceado é$-$ se e somente se o número ternário correspondente começa com $12$, $112$, $1112$, $\ldots$; $20$; ou$21$, com exceção daqueles que começam com $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. Para obter a probabilidade de isso ocorrer, somamos todas as probabilidades associadas da distribuição de Benford nas faixas ternárias normais. Usando a Calculadora Magma , obtemos a probabilidade aproximada de 46,5%.

Agora considere o caso em que o segundo dígito é $\cdot$. Como acima, para números ternários balanceados atendendo a esta condição, os números ternários equivalentes satisfazem$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$, etc. Assim como antes, um número ternário balanceado tem um segundo dígito $\cdot$ quando o número ternário correspondente começa com $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$; $22$; ou$10$, com exceção daqueles que começam com $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. Isso produz uma probabilidade de cerca de 30,63%.

Para o segundo dígito $+$, poderíamos apenas adicionar os resultados anteriores e subtrair de 1, mas como uma verificação vamos calcular da mesma maneira. Como acima, temos$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. Assim, o segundo dígito ternário balanceado é$+$ quando o número ternário correspondente começa com $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$; ou$11$, exceto aqueles que começam com $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. Como acima, essa probabilidade é de 22,87%.

Para fins de comparação, as probabilidades para segundos dígitos no ternário normal são 40,22%, 32,47% e 27,32% para $0$, $1$ e $2$, respectivamente.