Relação entre reprodução de kernel e matriz de kernel

Question

Deixei $\mathcal{R} : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ denotam o kernel de reprodução de um espaço de Hilbert $\mathcal{H}$ de funções em $[0,1]$ dotado de produto interno $ \langle \cdot, \cdot \rangle_{\mathcal{H}}$. Para minha configuração particular, posso mostrar que$$ \sup_{x \in [0,1]} ||\mathcal{R}(x, \cdot)||_{\mathcal{H}} \leq C,$$ para alguns $C>0$. Agora, vamos imaginar que temos um conjunto de$n$ valores $t_j$ dentro $[0,1]$, a partir do qual avaliamos $\mathcal{R}(t_i, t_j)$ e formar a matriz correspondente $\mathbf{R}$.

O que estou querendo saber é se também podemos estabelecer um limite semelhante para o maior autovalor dessa matriz semidefinida positiva. Ou seja, se para um vetor$\mathbf{a} \in \mathbb {R}^n$ nós podemos ter $$ \sum_j^n \sum_i^n a_i a_j \mathcal{R}(t_i, t_j) \leq B C \sum_{j=1}^n a_j^2,$$ por outra constante $B$.

Toda a ajuda é muito apreciada, obrigado.

Answer 1

Usando uma propriedade de reproduzir kernels e convexidade da norma quadrada:

\begin{aligned} \sum_i^n \sum_j^n a_i a_j \mathcal{R}(t_i, t_j) &= \sum_i^n \sum_j^n a_i a_j <\mathcal{R}(t_i, \cdot), \mathcal{R}(t_j, \cdot)>_\mathcal{H} \\ &= <\sum_i^n a_i \mathcal{R}(t_i, \cdot), \sum_j^n a_j \mathcal{R}(t_j, \cdot)>_\mathcal{H}\\ &= \left\Vert a \right\Vert_1^2 \left\Vert \sum_i^n \frac{a_i}{\left\Vert a \right\Vert_1} \mathcal{R}(t_i, \cdot) \right\Vert^2_\mathcal{H}\\ &\leq \left\Vert a \right\Vert_1^2 \sum_i^n \frac{a_i}{\left\Vert a \right\Vert_1} \left\Vert \mathcal{R}(t_i, \cdot) \right\Vert^2_\mathcal{H} \\ & \leq \left\Vert a \right\Vert_1^2 C^2 \\ & \leq \frac{\left\Vert a \right\Vert_2^2}{(\min_{\Vert x \Vert_1=1} \Vert x \Vert_2)^2} C^2 \end{aligned}